Al-Juarismi

Muhammad ibn Musa al-Juarismi fue un matemático, astrónomo y geógrafo que trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX. Bagdad era entonces la capital del Califato Abasí, un imperio que se extendía desde el norte de África hasta Asia Central, y una de las ciudades más grandes y ricas del mundo. Su nombre nos dice tres cosas: su propio nombre era Muhammad, su padre era Musa, y él o su familia venían de Jorasmia, una región fértil en el curso bajo del río Amu Daria, al sur del mar de Aral.

Es famoso por cuatro libros. El primero explicaba cómo resolver ecuaciones y dio su nombre al álgebra. El segundo enseñaba a calcular con los dígitos decimales indios, incluido el cero; su título en latín comenzaba con su nombre y nos dio la palabra algoritmo. El tercero era un conjunto de tablas astronómicas para predecir las posiciones del Sol, la Luna y los planetas. El cuarto era una geografía que enumeraba las latitudes y longitudes de más de dos mil lugares.

Ninguno de estos libros se escribió solo para especialistas. Al-Juarismi dijo que escribió su álgebra para explicar lo «más fácil y útil» del cálculo, el tipo de cosas que la gente necesitaba para herencias, legados, división de propiedades, pleitos y comercio. Este estilo práctico y claro es una razón por la que sus libros se copiaron, estudiaron y tradujeron durante siglos.

Bagdad fue fundada en 762 por el califa abasí al-Mansur como una nueva capital redonda a orillas del Tigris. Comerciantes, eruditos y funcionarios llegaban allí desde Arabia, Persia, Asia Central, India y las antiguas tierras de habla griega. El papel, que recientemente se había extendido por el mundo islámico, hizo que producir libros fuera más barato que nunca.

Los gobernantes abasíes financiaron la traducción de obras científicas y filosóficas del griego, el siríaco, el persa y el sánscrito al árabe. Hacia principios de la década de 770 un texto astronómico indio fue llevado a la corte de al-Mansur y traducido. Bajo el califa al-Mamún (813–833), quien tenía un fuerte interés personal en la ciencia, la traducción y la investigación recibieron apoyo a gran escala. El árabe se convirtió en la lengua compartida de la ciencia desde España hasta Asia Central.

A al-Juarismi se le vincula tradicionalmente con la Bayt al-Ḥikma, la «Casa de la Sabiduría», una biblioteca palaciega y centro de aprendizaje en Bagdad. Relatos posteriores dicen que fue astrónomo allí e incluso que dirigió su biblioteca. Dedicó tanto su álgebra como sus tablas astronómicas a al-Mamún, lo que muestra que trabajaba cerca de la corte del califa.

Se sabe muy poco con certeza sobre la vida de al-Juarismi. No sobrevive ninguna biografía escrita por alguien que lo conociera. Nuestra información principal viene de una breve entrada en el Fihrist, un catálogo de libros árabes compilado por el librero bagdadí Ibn al-Nadim a finales del siglo X, de algunas menciones del historiador al-Tabari, y de los prefacios de sus propios libros.

Su año de nacimiento suele darse como hacia el 780 y su muerte hacia el 850, pero son estimaciones. La mayor parte de su obra fechable se realizó entre 813 y 833, el reinado de al-Mamún. Un informe dice que bajo un califa posterior, al-Wathiq (r. 842–847), participó en una embajada ante los jázaros, un pueblo que vivía al norte del Cáucaso; esto es incierto.

Escribió en árabe, aunque era de origen persa o jorasmio. El prefacio de su álgebra se abre con alabanzas islámicas a Dios y al Profeta, lo que muestra que se presentaba a sí mismo como musulmán. Más allá de estos puntos, buena parte de lo que a veces se dice sobre él —sus maestros, su familia, su trabajo diario— no está respaldado por fuentes tempranas.

Su obra más famosa es al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala, «El libro compendioso sobre el cálculo por restauración y comparación», escrito en Bagdad hacia 820 con el aliento de al-Mamún. Es el libro más antiguo conservado que trata la resolución de ecuaciones como un tema en sí mismo, en lugar de como una colección de problemas individuales.

Al-Juarismi trabajaba con tres tipos de cantidad: «números» (lo que llamaríamos constantes), «raíces» (la incógnita, también llamada shayʾ, «cosa») y «cuadrados» (la incógnita multiplicada por sí misma). Demostró que todo problema lineal o cuadrático con cantidades positivas puede reducirse a uno de seis tipos estándar: cuadrados iguales a raíces; cuadrados iguales a números; raíces iguales a números; cuadrados y raíces iguales a números; cuadrados y números iguales a raíces; y raíces y números iguales a cuadrados. Para cada tipo dio una regla para hallar la respuesta.

Dos operaciones llevan un problema a su forma estándar. Al-jabr, «restauración», elimina una cantidad restada sumándola a ambos lados: en notación moderna, x² = 40x − 4x² se convierte en 5x² = 40x. Al-muqābala, «comparación» o «balanceo», elimina la misma cantidad de ambos lados: x² + 14 = x + 5 se convierte en x² + 9 = x. La primera de estas palabras, llevada al latín como algebra, se convirtió en el nombre de toda la disciplina.

Crucialmente, al-Juarismi no usaba símbolos. Todo, incluidos los números, está escrito en palabras. Su famoso ejemplo pide un número cuyo cuadrado más diez veces él mismo sea igual a treinta y nueve, y lo resuelve «completando el cuadrado». Después demuestra la regla con una figura geométrica: un cuadrado se rodea de rectángulos, y se añaden pequeños cuadrados en las esquinas hasta completar un cuadrado mayor. La respuesta, tres, puede leerse en el diagrama.

El libro continúa con reglas para multiplicar y manejar expresiones, una sección sobre medición de áreas y volúmenes (dando tres aproximaciones de π, incluidas 3 1/7 y 3,1416), y una larga parte final —cerca de la mitad del libro— que aplica la aritmética y ecuaciones sencillas a la ley islámica de herencias, que divide un patrimonio entre muchos herederos en partes fijas.

Al-Juarismi también escribió un tratado, redactado hacia 825, que explicaba cómo calcular con los nueve dígitos indios y un signo para el cero en un sistema de valor posicional, el sistema que hoy llamamos numerales indoarábigos. Cubría cómo escribir números, la suma, la resta, la duplicación, la reducción a la mitad, la multiplicación y la división, y parece que también las raíces cuadradas. Los cálculos se hacían en una tabla de polvo (takht), una bandeja cubierta de arena fina en la que se podían escribir cifras y borrarlas rápidamente.

El original árabe se ha perdido. Lo que sobrevive son adaptaciones latinas del siglo XII, ninguna de ellas una traducción literal. La más conocida comienza Dixit Algorizmi, «al-Juarismi dijo», y se conserva en un único manuscrito en Cambridge; se imprimió en 1857 bajo el título Algoritmi de numero Indorum. Otras obras latinas, como el Liber Ysagogarum Alchorismi y el Liber Alchoarismi de practica arismetice, también desarrollaron sus métodos.

En latín, el nombre de al-Juarismi se convirtió en Algorismus o Algoritmi. «Algorismo» pasó a significar la nueva forma de calcular con dígitos escritos, frente al ábaco más antiguo; la palabra inglesa aparece ya a principios del siglo XIII. Más tarde, bajo la influencia del griego arithmos («número»), se reformó en algorithmus, y el inglés «algorithm» se documenta a finales del siglo XVI. Hoy la palabra significa cualquier procedimiento preciso paso a paso, especialmente uno ejecutado por un ordenador.

La palabra española «guarismo» y la portuguesa «algarismo», ambas con el significado de «dígito», también vienen de su nombre. De este modo el nombre de un solo erudito viajó desde Asia Central hasta Bagdad, de Bagdad a España y la Europa latina, y finalmente al vocabulario de la informática moderna.

Un zīj es un manual astronómico: un conjunto de tablas, con instrucciones, para calcular las posiciones del Sol, la Luna y los planetas, los momentos de los eclipses, la visibilidad de la luna nueva y las fechas del calendario. El Zīj al-Sindhind de al-Juarismi es una de las obras árabes más tempranas de este tipo. Según la descripción que sobrevive, tenía unos 37 capítulos y 116 tablas, incluida una tabla de senos.

Su nombre, Sindhind, viene de la palabra sánscrita siddhānta, que significa un tratado astronómico. Los movimientos medios de los planetas en sus tablas derivan de la astronomía india, en particular del Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta, que había sido traducido en la corte abasí décadas antes. También usó material persa y algo de material ptolemaico. Esta mezcla muestra cómo los eruditos de Bagdad combinaban tradiciones que se habían desarrollado por separado.

El texto árabe original se ha perdido. Sobrevive en una revisión hecha hacia el año 1000 por el astrónomo andalusí Maslama al-Mayriti, que fue traducida al latín en el siglo XII, muy probablemente por Adelardo de Bath (a esta traducción se asocia una fecha de 1126). Se conocen cuatro manuscritos de la versión latina. Al-Juarismi también escribió sobre el astrolabio y el reloj de sol, sobre cómo hallar la dirección de La Meca, y sobre el calendario judío y su ciclo de 19 años.

El Kitāb ṣūrat al-arḍ de al-Juarismi, «El libro de la imagen de la Tierra», se terminó en 833. Es una revisión a fondo de la Geografía del siglo II de Claudio Ptolomeo. Tras una breve introducción, enumera las coordenadas de 2.402 lugares —ciudades, montañas, mares, islas y ríos— organizados por zonas climáticas (bandas de latitud) y, dentro de cada zona, por longitud.

No se limitó a copiar a Ptolomeo. Corrigió la gran sobrestimación de Ptolomeo de la longitud del mar Mediterráneo, de unos 63 grados de longitud a cerca de 50, y mostró los océanos Atlántico e Índico como aguas abiertas en lugar de mares cerrados. Sus datos para las tierras islámicas, África y Asia eran en general mejores que los de Ptolomeo, mientras que para Europa se basó más en el material antiguo.

Solo sobrevive un manuscrito árabe de la obra, hoy en Estrasburgo, y no contiene ningún mapa del mundo. En el siglo XX el erudito Hubert Daunicht plasmó las coordenadas en papel cuadriculado y reconstruyó las costas, los ríos y las ciudades que debía mostrar el mapa perdido. También se dice que al-Juarismi participó en los proyectos de al-Mamún para medir la Tierra y producir un mapa del mundo.

En el mundo islámico, el álgebra de al-Juarismi inició una larga tradición. Matemáticos posteriores como Abu Kamil, en Egipto, escribieron sus propios libros con el mismo título, ampliando sus métodos; siglos más tarde, Omar Jayam resolvió ecuaciones cúbicas de forma geométrica en un tratado que también pertenece a esta línea. Su meridiano primario y sus coordenadas fueron usados por muchos geógrafos musulmanes posteriores.

En el siglo XII, eruditos de España y otros lugares tradujeron la ciencia árabe al latín. Roberto de Chester tradujo el álgebra en Segovia en 1145, y Gerardo de Cremona hizo otra versión. El álgebra siguió siendo un libro de texto matemático principal en las universidades europeas hasta el siglo XVI. Los textos aritméticos difundieron los numerales indoarábigos en Europa; escritores posteriores, entre ellos Leonardo de Pisa (Fibonacci), construyeron sobre esta tradición.

En 1831 Frederic Rosen publicó la primera traducción al inglés del álgebra, basada en el único manuscrito árabe conservado en Oxford. Un cráter en la cara oculta de la Luna y dos asteroides llevan el nombre de al-Juarismi, y se le conmemora ampliamente en Irán, Uzbekistán y el mundo árabe.

La crónica de al-Tabari da el nombre Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī al-Majūsī al-Quṭrubbullī. El historiador de la ciencia G. J. Toomer interpretó al-Majūsī («el mago», es decir, zoroastriano) como una indicación de ascendencia zoroastriana, y al-Quṭrubbullī como referencia a Qutrubbul, un distrito cerca de Bagdad. Dado que el prefacio del álgebra es piadosamente musulmán, Toomer sugirió que el epíteto podría describir a sus antepasados o su juventud.

Roshdi Rashed rechazó esta lectura. Argumentó que el pasaje originalmente nombraba a dos personas distintas —«al-Khwārizmī y al-Majūsī al-Quṭrubbullī»— y que la palabra árabe wa («y») se había perdido en una copia temprana. Según esta visión, los epítetos no nos dicen nada sobre al-Juarismi. Otros eruditos, como David A. King, han aceptado el vínculo con Qutrubbul. El desacuerdo muestra cuánto depende la biografía de la interpretación de una sola tradición manuscrita.

Otra sugerencia, hecha por D. M. Dunlop, es que al-Juarismi podría ser idéntico a Muḥammad ibn Mūsā ibn Shākir, el mayor de los hermanos Banū Mūsā, que también fueron destacados científicos en Bagdad. Esta identificación no está ampliamente aceptada. La afirmación más segura es que tenemos un pequeño número de informes tardíos y los prefacios del propio autor, y que los relatos populares a menudo llenan los vacíos con invención.

Los historiadores discrepan mucho sobre las fuentes y la originalidad del álgebra de al-Juarismi. Los escribas babilonios habían resuelto problemas cuadráticos dos mil años antes, Diofanto de Alejandría había escrito la Aritmética, y matemáticos indios como Brahmagupta tenían reglas para ecuaciones cuadráticas y usaban números negativos y notación abreviada. Al-Juarismi, en cambio, escribía enteramente en palabras y evitaba las cantidades negativas.

Algunos eruditos, entre ellos Toomer y Rashed, piensan que las demostraciones geométricas muestran familiaridad con los Elementos de Euclides, especialmente el Libro II, que su colega bagdadí al-Hajjaj había traducido. Solomon Gandz argumentó lo contrario: el álgebra no tiene definiciones, axiomas ni demostraciones al estilo euclidiano, y su geometría está más cerca de la mensura práctica. Gandz y, más tarde, Karen Parshall señalaron paralelismos con el Mishnat ha-Middot, un texto geométrico hebreo, aunque la fecha de ese texto es en sí misma objeto de debate.

Las opiniones sobre su logro varían ampliamente. Gandz lo llamó más merecedor que Diofanto del título de «padre del álgebra», porque enseñó álgebra «de forma elemental y por sí misma». Rashed subrayó la novedad de tratar la ecuación misma, clasificada exhaustivamente, como objeto de estudio. Carl Boyer señaló que su obra era más elemental y más «retórica» que la de Diofanto o Brahmagupta, aunque más cercana en espíritu al álgebra elemental moderna. Toomer, en cambio, juzgó su matemática en sí misma bastante modesta, aunque reconociendo su enorme influencia.

Una forma útil de enmarcar el debate es separar las técnicas de la organización. Muchas técnicas individuales existían antes que él; lo nuevo fue un marco sistemático y enseñable —formas estándar, operaciones generales y demostraciones— presentado en una lengua que se convirtió en el medio internacional de la ciencia. La influencia de ese marco, más que cualquier descubrimiento único, explica su lugar en la historia de las matemáticas.

Las obras de al-Juarismi sobreviven de forma muy desigual. El álgebra existe en árabe, en un único manuscrito en Oxford usado por Rosen, y en versiones latinas medievales (una copia en latín está en Cambridge). La aritmética sobrevive solo en adaptaciones latinas que difieren del original perdido, así que reconstruir lo que él mismo escribió requiere comparar varios textos latinos. El Zīj sobrevive solo a través de la revisión de al-Mayriti en latín. La geografía sobrevive en un manuscrito árabe en Estrasburgo. Otras obras breves sobre relojes de sol, el astrolabio y la qibla se conservan en manuscritos en Berlín, Estambul, Tashkent, El Cairo y París; algunas atribuciones son inciertas.

Su Kitāb al-taʾrīkh, un libro de anales, se ha perdido, pero fue citado en el siglo XI por el obispo sirio Elías de Nísibis. Esto nos recuerda que sus contemporáneos también lo conocían como historiador y cronólogo, no solo como matemático.

El papel de la Casa de la Sabiduría también requiere cuidado. Escritores del siglo XIX y XX a menudo la describieron como una gran academia o universidad con departamentos de investigación. Algunos historiadores recientes argumentan que las fuentes tempranas describen algo más modesto —una biblioteca palaciega y un lugar donde trabajaban eruditos— y que la imagen más grandiosa es una proyección posterior. La conexión de al-Juarismi con la corte del califa está clara por sus dedicatorias; el entorno institucional preciso es menos seguro.