Euclides

Euclides fue un matemático griego de la Antigüedad, a menudo llamado el «padre de la geometría». Vivió y enseñó en Alejandría, la ciudad de Egipto fundada por Alejandro Magno y gobernada por los reyes ptolemaicos, de habla griega. Su época se sitúa generalmente hacia el año 300 a. C.

Es famoso sobre todo por un libro: los Elementos. En él reunió la geometría y la aritmética que los matemáticos griegos habían desarrollado durante los siglos anteriores y las organizó en una única cadena lógica, en la que cada resultado se demuestra a partir de los anteriores. Muchos de sus teoremas fueron descubiertos por otros, pero la organización, muchas de las demostraciones y el diseño general convirtieron la obra en el libro de texto estándar de matemáticas durante más de dos mil años.

Junto con Arquímedes y Apolonio de Perge, Euclides suele figurar entre los mayores matemáticos de la Antigüedad. Hoy «geometría euclidiana» es el nombre de la geometría corriente del espacio plano que la mayoría aprende en la escuela.

Casi nada de la vida de Euclides es seguro. Ningún autor de su propia época lo describe, y no existe ningún retrato hecho en vida; las imágenes de Euclides en el arte posterior son imaginarias. La mayor parte de lo que se dice de él proviene de dos eruditos que vivieron seis o siete siglos después: Papo de Alejandría (comienzos del siglo IV d. C.) y Proclo (siglo V d. C.).

Proclo dice que Euclides vivió después de los discípulos de Platón y antes de Arquímedes, en tiempos del primer rey Ptolomeo. Eso lo sitúa aproximadamente hacia el 300 a. C. Papo menciona que el matemático posterior Apolonio estudió con discípulos de Euclides en Alejandría, lo que sugiere que Euclides fundó allí una escuela de matemáticas. A menudo se supone que había estudiado en Atenas con seguidores de Platón, porque su obra se apoya en la geometría del círculo platónico, pero esto es solo una conjetura.

Se cuentan dos historias famosas sobre él. En una, el rey Ptolomeo pide un atajo para aprender geometría y Euclides responde que «no hay camino real hacia la geometría». En otra, un alumno pregunta qué ganará aprendiendo geometría, y Euclides ordena a un sirviente que le dé una moneda, «ya que debe sacar provecho de lo que aprende». Ambas historias se pusieron por escrito siglos después, y una versión casi idéntica de la primera se cuenta también sobre otro matemático y Alejandro Magno, por lo que los historiadores las consideran leyendas.

Alejandría fue fundada en el 331 a. C. Tras la muerte de Alejandro, su general Ptolomeo tomó el control de Egipto, y desde alrededor del 306 a. C. su gobierno trajo una estabilidad poco frecuente entre las guerras de los sucesores de Alejandro. Los Ptolomeos construyeron grandes instituciones, entre ellas el Museo («santuario de las Musas»), un centro de investigación y enseñanza, y la famosa Biblioteca.

Eruditos de todo el mundo griego se sintieron atraídos por Alejandría. A menudo se imagina a Euclides como uno de los primeros sabios del Museo, aunque ninguna fuente antigua lo dice directamente. Lo que sí está claro es que Alejandría se convirtió durante siglos en el principal centro de las matemáticas y la ciencia griegas, sede de figuras posteriores como Eratóstenes, Herón, Ptolomeo el astrónomo, Papo y Teón.

Euclides se sitúa así en un punto de encuentro: heredó las matemáticas desarrolladas en Atenas por la generación de Platón y Aristóteles, y su obra se convirtió en el fundamento de la tradición alejandrina que le siguió.

Los Elementos (en griego Stoicheia) se dividen en trece «libros», que son más bien capítulos largos. Los libros del 1 al 6 tratan de geometría plana: triángulos, líneas paralelas, áreas, círculos, polígonos regulares y figuras semejantes. El libro 5 presenta una teoría general de razón y proporción, probablemente basada en el trabajo de Eudoxo de Cnido.

Los libros del 7 al 9 tratan de los números enteros: divisibilidad, números primos y números en proporción continua. El libro 10, el más largo y difícil, clasifica las magnitudes inconmensurables (en términos modernos, irracionales). Los libros del 11 al 13 pasan a la geometría del espacio y terminan con la construcción de los cinco sólidos regulares (el cubo, el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro) y la demostración de que no existen otros.

Se añadieron dos libros más, el 14 y el 15, a muchas copias posteriores, pero fueron escritos por otros autores; el libro 14 se atribuye a Hipsicles. Los Elementos no contienen introducción, ni comentarios históricos, ni casi nada personal: son una sucesión de definiciones, supuestos, enunciados y demostraciones, cada una con su diagrama.

El libro 1 se abre con 23 definiciones, como «un punto es aquello que no tiene partes» y «una línea es una longitud sin anchura». A continuación vienen cinco postulados y cinco nociones comunes. Los postulados permiten las construcciones básicas de la geometría con regla y compás: trazar una línea recta entre dos puntos, prolongar una línea, trazar un círculo con cualquier centro y radio; también establecen que todos los ángulos rectos son iguales. Las nociones comunes son verdades generales sobre las cantidades, como «las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí» y «el todo es mayor que la parte».

Todo lo demás es una proposición: bien un problema (una construcción que hay que llevar a cabo), bien un teorema (un enunciado que hay que demostrar). Cada proposición se plantea en términos generales, se ilustra con un diagrama, se demuestra paso a paso usando solo lo establecido anteriormente, y se cierra con una fórmula; las traducciones latinas la tradujeron más tarde como «lo que había que demostrar» (quod erat demonstrandum, QED).

Esta estructura axiomático-deductiva, en la que todo un campo crece a partir de un pequeño conjunto de puntos de partida enunciados explícitamente, es el legado más duradero de Euclides. Autores posteriores en filosofía, física y matemáticas tomaron repetidamente prestada su forma. Aristóteles ya había discutido los primeros principios y la demostración, y los términos de Euclides recuerdan esas discusiones, pero los Elementos son el ejemplo a gran escala más antiguo conservado de ese método puesto en práctica.

El libro 1 termina con el teorema de Pitágoras (proposición 47) y su recíproco (48). Es la demostración más antigua conservada del teorema, basada en una figura a veces apodada «molino de viento» o «silla de la novia». Antes, en el mismo libro, la proposición 5 (los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales) se conoció en la Europa medieval como el pons asinorum, el «puente de los asnos», que los alumnos más débiles no lograban cruzar.

El libro 7 comienza con el procedimiento hoy llamado algoritmo de Euclides: para hallar el máximo común divisor de dos números, se resta (o divide) repetidamente el menor del mayor hasta que el resto sea cero. Es uno de los algoritmos más antiguos que aún se usan a diario, incluso en la criptografía informática. La proposición 20 del libro 9 demuestra que hay más números primos que cualquier cantidad dada, es decir, que los primos nunca se acaban, con un argumento que todavía hoy se enseña.

La proposición 11 del libro 2, y otras posteriores, construyen la división de una línea en «razón extrema y media», llamada hoy razón áurea, usada para construir el pentágono regular, el dodecaedro y el icosaedro. El libro 12 utiliza el método de exhaución, precursor del cálculo integral, para mostrar, por ejemplo, que un cono es un tercio del cilindro con la misma base y altura.

Euclides escribió mucho más que los Elementos. Datos explica qué puede deducirse cuando ciertos elementos de una figura son «dados», una especie de guía para resolver problemas. Óptica es el tratado griego más antiguo conservado sobre la perspectiva: trata la visión como líneas rectas (rayos visuales) que salen del ojo formando un cono, y demuestra, por ejemplo, por qué los objetos más lejanos parecen más pequeños. Fenómenos aplica la geometría esférica a la astronomía, describiendo los movimientos celestes tal como se ven desde la Tierra.

Sobre la división de figuras, que solo se conserva en parte a través de una traducción árabe, trata de cortar figuras en partes con proporciones dadas. La Catóptrica, sobre los espejos, se le atribuye, pero muchos estudiosos dudan de que sea suya.

Varias obras están perdidas y solo se conocen por descripciones posteriores: las Cónicas, un tratado en cuatro libros sobre las secciones cónicas superado más tarde por Apolonio; los Porismas, una colección de unas doscientas proposiciones de un tipo especial; los Pseudaria, un libro sobre falacias geométricas para ayudar a los principiantes a evitar errores; y los Lugares en superficies.

La evidencia más antigua de los Elementos son seis óstracas (fragmentos de cerámica con inscripciones) de Elefantina, en Egipto, del siglo III a. C., que tratan proposiciones del libro 13. El papiro más antiguo conservado con su texto, el Papiro Oxirrinco 29, data de hacia el 75–125 d. C. En el siglo IV d. C., Teón de Alejandría preparó una edición que se convirtió en la base de casi todos los manuscritos griegos posteriores.

Hacia el año 800, bajo el califa Harún al-Rashid, al-Hayyach ibn Yusuf ibn Matar tradujo los Elementos al árabe; una traducción posterior de Ishaq ibn Hunayn fue revisada por Thabit ibn Qurra. Los matemáticos del mundo islámico estudiaron, comentaron y ampliaron la obra, incluidos varios intentos de demostrar el postulado de las paralelas. Hacia 1120 el monje inglés Adelardo de Bath la tradujo del árabe al latín, y la versión latina de Campano de Novara, del siglo XIII, se convirtió en el estándar en Occidente.

La primera edición impresa, a cargo de Erhard Ratdolt en Venecia en 1482, fue uno de los primeros libros de matemáticas jamás impresos; le han seguido más de mil ediciones. La primera traducción al inglés, de Henry Billingsley con prefacio de John Dee, apareció en 1570. En 1607 el jesuita Matteo Ricci y el erudito Xu Guangqi publicaron una traducción china de los seis primeros libros, el Jihe yuanben, que introdujo la geometría euclidiana en Asia oriental y dio al chino la palabra jihe para «geometría».

El quinto postulado de Euclides afirma, en esencia, que si una línea recta que cruza otras dos líneas forma, en un lado, ángulos internos que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos líneas, prolongadas lo suficiente, se encontrarán en ese lado. Equivale a decir que, por un punto exterior a una línea, pasa exactamente una paralela a esa línea. Comparado con los demás postulados, es largo y poco evidente por sí mismo, y Euclides evita usarlo hasta la proposición 29 del libro 1.

Durante dos mil años, matemáticos como Ptolomeo, Proclo, Ibn al-Haytham, Omar Jayam, Nasir al-Din al-Tusi y, más tarde, europeos como Saccheri intentaron demostrarlo a partir de los otros cuatro. Todos fracasaron, aunque sus esfuerzos revelaron muchos enunciados equivalentes.

A comienzos del siglo XIX, Nikolái Lobachevski (publicado en 1829), János Bolyai y, en privado, Carl Friedrich Gauss mostraron que se puede construir una geometría consistente en la que el quinto postulado es falso. Bernhard Riemann desarrolló más tarde otros tipos de geometría curva. Estas geometrías no euclidianas demostraron que el postulado es independiente de los demás, y más tarde se convirtieron en el lenguaje matemático de la relatividad general de Einstein. Irónicamente, la decisión de Euclides de plantear el postulado como un supuesto, en lugar de fingir demostrarlo, se considera hoy una muestra de su perspicacia lógica.

Los Elementos suelen describirse como el libro de texto más exitoso jamás escrito y, después de la Biblia, uno de los libros más traducidos, publicados y estudiados de la historia. En Europa siguió siendo el núcleo de la educación matemática hasta el siglo XX; la expresión «estudiar a Euclides» significaba simplemente estudiar geometría.

Su influencia llegó mucho más allá de las matemáticas. Pensadores que admiraban su certeza intentaron presentar la filosofía, la ética y la física «al modo geométrico»: la Ética de Spinoza está escrita como definiciones, axiomas y proposiciones, y los Principia de Newton siguen un patrón similar. Las ediciones impresas inspiraron a artistas renacentistas como Piero della Francesca, y la edición de 1847 de Oliver Byrne sustituyó las letras por diagramas de colores para ayudar a los aprendices.

El nombre de Euclides pervive en la geometría euclidiana, el algoritmo de Euclides, el teorema de Euclides sobre los primos, un cráter lunar y el telescopio espacial Euclid de la Agencia Espacial Europea, lanzado en 2023 para trazar el mapa de la geometría del universo oscuro.

La referencia firme más antigua a Euclides está en el prefacio del libro 1 de las Cónicas de Apolonio (comienzos del siglo II a. C.), que critica el tratamiento que da Euclides al lugar geométrico de tres y cuatro líneas. Arquímedes y Apolonio dan por sentadas proposiciones de los Elementos, lo que sugiere que la obra ya circulaba en el siglo III a. C., aunque Arquímedes usa una teoría de la proporción más antigua que la del libro 5. Una única mención a Euclides en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, en la que se basó Proclo para su datación, fue considerada por Johannes Hjelmslev una inserción posterior. Las citas firmes de los Elementos en obras de fecha segura solo comienzan con Galeno y Alejandro de Afrodisia, en el siglo II d. C.

Las tradiciones posteriores multiplicaron la confusión. El compilador romano Valerio Máximo puso el nombre de Euclides en una historia sobre Platón y la duplicación del cubo, y escritores bizantinos y latinos medievales confundieron al matemático con Euclides de Megara, un filósofo discípulo de Sócrates un siglo antes; los Elementos impresos en 1482 lo llaman «Megarensis». Los eruditos del Renacimiento, en particular Petrus Ramus, expusieron el error. Fuentes árabes medievales le atribuyen un padre, Naucrates, y un lugar de nacimiento, Tiro, detalles que los historiadores consideran inventados.

Dada la escasez de pruebas, el historiador Jean Itard planteó tres hipótesis: que Euclides fue un único autor histórico; que dirigió un equipo en Alejandría cuyos miembros contribuyeron a las obras y siguieron escribiendo bajo su nombre; o que «Euclides» fue un seudónimo colectivo, como lo fue «Nicolas Bourbaki» para un grupo de matemáticos del siglo XX. La mayoría de los historiadores acepta la primera hipótesis, reconociendo a la vez que Euclides se apoyó mucho en predecesores y que su escuela pudo haber dado forma a los textos; las diferencias de estilo entre los libros pueden explicarse por sus fuentes.

Los Elementos que leemos hoy son una reconstrucción. Durante siglos, todas las copias griegas derivaban de la edición de Teón, del siglo IV. En 1808, François Peyrard identificó en la Biblioteca Vaticana un manuscrito (Vat. gr. 190, copiado en el siglo X) que no procede de la línea de Teón; la edición crítica de J. L. Heiberg (1883–1888) lo trató como el testigo más fiable, corrigiéndolo con los demás manuscritos, y la traducción inglesa de Thomas Heath (1908) siguió a Heiberg. Las traducciones árabes carecen de muchos añadidos explicativos presentes en ambas versiones griegas, lo que ha suscitado un debate sobre si conservan un texto anterior más escueto; la cuestión sigue abierta.

La interpretación plantea sus propios problemas. La idea de que el libro 2 contiene un «álgebra geométrica», identidades algebraicas disfrazadas de forma geométrica, fue habitual a comienzos del siglo XX; desde la década de 1970, historiadores como Sabetai Unguru la han criticado por anacrónica, argumentando que las magnitudes, razones y números griegos deben entenderse en sus propios términos. Precauciones similares se aplican a leer el libro 5 como una teoría de los números reales o el libro 10 como un tratado sobre los números irracionales en el sentido moderno.

Por último, los Elementos no son lógicamente perfectos. Euclides a menudo se apoya en lo que muestran los diagramas, por ejemplo que dos círculos trazados en la proposición 1 del libro 1 realmente se cortan, o en supuestos no formulados sobre el orden y la posición entre puntos. A finales del siglo XIX, Moritz Pasch identificó estas lagunas, y los Fundamentos de la geometría de David Hilbert (1899) aportaron un sistema axiomático completo; Alfred Tarski dio más tarde otro, y en 2017 Michael Beeson y sus colegas usaron asistentes de demostración por ordenador para comprobar las proposiciones del libro 1 frente a un conjunto de axiomas al estilo de Euclides. Algunos estudiosos recientes sostienen que el razonamiento diagramático de Euclides sigue sus propias reglas coherentes, en lugar de ser un simple descuido.