Аль-Хорезми

Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми — математик, астроном и географ, работавший в Багдаде в первой половине IX века. Багдад тогда был столицей Аббасидского халифата — империи, простиравшейся от Северной Африки до Средней Азии, — и одним из крупнейших и богатейших городов мира. Его имя сообщает нам три вещи: самого его звали Мухаммад, его отца — Муса, а сам он или его семья происходили из Хорезма, плодородной области в низовьях Амударьи к югу от Аральского моря.

Он знаменит четырьмя книгами. Первая объясняла, как решать уравнения, и дала имя алгебре. Вторая учила вычислять с помощью индийских десятичных цифр, включая ноль; её латинское название начиналось с его имени и подарило нам слово «алгоритм». Третья представляла собой набор астрономических таблиц для вычисления положений Солнца, Луны и планет. Четвёртая была географией, перечислявшей широты и долготы более двух тысяч мест.

Ни одна из этих книг не была написана только для специалистов. Аль-Хорезми говорил, что написал свою алгебру, чтобы объяснить то, что «легче всего и полезнее всего» в вычислениях, — то, что нужно людям для наследства, завещаний, раздела имущества, судебных тяжб и торговли. Этот практичный, ясный стиль — одна из причин, почему его книги переписывали, изучали и переводили на протяжении веков.

Багдад основал в 762 году аббасидский халиф аль-Мансур как новую круглую столицу на реке Тигр. Туда съезжались купцы, учёные и чиновники из Аравии, Персии, Средней Азии, Индии и старых грекоязычных земель. Бумага, недавно распространившаяся в исламском мире, сделала производство книг дешевле, чем когда-либо прежде.

Аббасидские правители оплачивали перевод научных и философских трудов с греческого, сирийского, персидского и санскрита на арабский язык. Примерно в начале 770-х годов ко двору аль-Мансура привезли индийский астрономический трактат и перевели его. При халифе аль-Мамуне (813–833), который лично живо интересовался наукой, перевод и исследования поддерживались в огромных масштабах. Арабский язык стал общим языком науки от Испании до Средней Азии.

Аль-Хорезми традиционно связывают с Байт аль-Хикмой, «Домом мудрости», — дворцовой библиотекой и центром учёности в Багдаде. Позднейшие рассказы утверждают, что он был там астрономом и даже возглавлял его библиотеку. Он посвятил и свою алгебру, и свои астрономические таблицы аль-Мамуну, что показывает, что он работал в тесной связи с двором халифа.

О жизни аль-Хорезми известно очень немного достоверного. Не сохранилось ни одной биографии, написанной кем-то, кто его знал. Наши главные сведения происходят из короткой статьи в «Фихристе» — каталоге арабских книг, составленном багдадским книготорговцем Ибн ан-Надимом в конце X века, — из нескольких упоминаний историка ат-Табари и из предисловий к его собственным книгам.

Год его рождения обычно указывают как около 780 года, а смерти — как около 850 года, но это лишь оценки. Большая часть его датируемых работ была создана между 813 и 833 годами, в правление аль-Мамуна. По одному сообщению, при более позднем халифе аль-Васике (правил в 842–847 годах) он участвовал в посольстве к хазарам — народу, жившему к северу от Кавказа; это сведение недостоверно.

Он писал на арабском языке, хотя по происхождению был персом или хорезмийцем. Предисловие к его алгебре открывается благочестивым мусульманским восхвалением Бога и Пророка, что показывает, что он представлял себя мусульманином. Помимо этих фактов, многое из того, что иногда о нём говорят, — о его учителях, семье, повседневных занятиях, — не подтверждается ранними источниками.

Его самый знаменитый труд — «Аль-Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала», «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», написанная в Багдаде около 820 года при поддержке аль-Мамуна. Это старейшая из сохранившихся книг, рассматривающая решение уравнений как самостоятельный предмет, а не как собрание отдельных задач.

Аль-Хорезми работал с тремя видами величин: «числами» (то, что мы бы назвали константами), «корнями» (неизвестным, также называемым шайʾ, «вещь») и «квадратами» (неизвестным, умноженным само на себя). Он показал, что любую линейную или квадратную задачу с положительными величинами можно свести к одному из шести стандартных типов: квадраты равны корням; квадраты равны числам; корни равны числам; квадраты и корни равны числам; квадраты и числа равны корням; и корни и числа равны квадратам. Для каждого типа он дал правило нахождения ответа.

Два действия приводят задачу к стандартному виду. Аль-джабр, «восстановление», устраняет вычитаемую величину, прибавляя её к обеим сторонам: в современной записи x² = 40x − 4x² превращается в 5x² = 40x. Аль-мукабала, «противопоставление» (или «уравновешивание»), устраняет одинаковую величину с обеих сторон: x² + 14 = x + 5 превращается в x² + 9 = x. Первое из этих слов, перенесённое в латынь как algebra, стало названием всей дисциплины.

Важно, что аль-Хорезми не использовал символов. Всё, включая числа, записано словами. Его знаменитый пример спрашивает о числе, чей квадрат плюс десятикратное само число равняется тридцати девяти, и он решает эту задачу методом «дополнения до квадрата». Затем он доказывает правило геометрической фигурой: квадрат окружают прямоугольники, а в углах добавляют небольшие квадраты, пока не получится больший квадрат. Ответ, три, можно прочитать прямо с чертежа.

Далее в книге идут правила умножения и работы с выражениями, раздел об измерении площадей и объёмов (даёт три приближения числа π, включая 3 1/7 и 3,1416), и длинная заключительная часть — около половины книги, — применяющая арифметику и простые уравнения к исламскому праву наследования, которое делит имущество между многими наследниками в установленных долях.

Аль-Хорезми также написал трактат, созданный около 825 года, объясняющий, как вычислять с помощью девяти индийских цифр и знака нуля в позиционной системе счисления — системе, которую мы теперь называем индо-арабскими цифрами. Он охватывал запись чисел, сложение, вычитание, удвоение, деление пополам, умножение и деление, а также, судя по всему, извлечение квадратных корней. Вычисления проводили на пыльной доске (тахт) — подносе, покрытом тонким песком, на котором можно было писать цифры и быстро их стирать.

Арабский оригинал утрачен. Сохранились только латинские переработки XII века, ни одна из которых не является буквальным переводом. Самая известная начинается словами Dixit Algorizmi — «Сказал аль-Хорезми» — и хранится в единственной рукописи в Кембридже; её напечатали в 1857 году под названием Algoritmi de numero Indorum. Другие латинские труды, такие как Liber Ysagogarum Alchorismi и Liber Alchoarismi de practica arismetice, также развивали его методы.

В латыни имя аль-Хорезми превратилось в Algorismus или Algoritmi. «Алгоризм» стал означать новый способ вычисления с помощью письменных цифр в противоположность более старым счётам-абаку; английское слово встречается уже в начале XIII века. Позже, под влиянием греческого arithmos («число»), оно превратилось в algorithmus, а английское «algorithm» фиксируется к концу XVI века. Сегодня это слово означает любую точную пошаговую процедуру, особенно выполняемую компьютером.

Испанское слово guarismo и португальское algarismo, оба означающие «цифра», также происходят от его имени. Так имя одного учёного прошло путь из Средней Азии в Багдад, из Багдада — в Испанию и латинскую Европу, а в конце концов вошло в словарь современной компьютерной науки.

Зидж — это астрономический справочник: набор таблиц с инструкциями для вычисления положений Солнца, Луны и планет, времени затмений, видимости новолуния и календарных дат. «Зидж ас-Синдхинд» аль-Хорезми — один из самых ранних арабских трудов такого рода. Согласно сохранившемуся описанию, в нём было около 37 глав и 116 таблиц, включая таблицу синусов.

Его название, Синдхинд, происходит от санскритского слова сиддханта, означающего астрономический трактат. Средние движения планет в его таблицах восходят к индийской астрономии, в частности к «Брахмаспхутасиддханте» Брахмагупты, переведённой при аббасидском дворе десятилетиями ранее. Он также использовал персидские материалы и некоторые данные Птолемея. Это смешение показывает, как багдадские учёные соединяли традиции, развивавшиеся порознь.

Оригинальный арабский текст утрачен. Он сохранился в редакции, сделанной около 1000 года андалусским астрономом Масламой аль-Маджрити, которую в XII веке перевели на латынь, вероятнее всего, Аделард Батский (с этим переводом связывают 1126 год). Известны четыре рукописи латинской версии. Аль-Хорезми также писал об астролябии и солнечных часах, об определении направления на Мекку и о еврейском календаре и его 19-летнем цикле.

«Китаб сурат аль-ард» аль-Хорезми, «Книга образа Земли», была завершена в 833 году. Это основательная переработка «Географии» Клавдия Птолемея II века. После короткого введения в ней перечислены координаты 2402 мест — городов, гор, морей, островов и рек, — расположенных по климатическим поясам (полосам широты), а внутри каждого пояса — по долготе.

Он не просто копировал Птолемея. Он исправил значительное завышение Птолемеем длины Средиземного моря — примерно с 63 градусов долготы почти до 50, — а также показал Атлантический и Индийский океаны как открытые воды, а не замкнутые моря. Его данные об исламских землях, Африке и Азии в целом были лучше, чем у Птолемея, тогда как для Европы он больше полагался на более старые материалы.

Сохранилась лишь одна арабская рукопись этого труда, ныне хранящаяся в Страсбурге, и в ней нет карты мира. В XX веке учёный Хуберт Даунихт нанёс координаты на миллиметровую бумагу и восстановил береговые линии, реки и города, которые, должно быть, показывала утраченная карта. Также сообщается, что аль-Хорезми участвовал в проектах аль-Мамуна по измерению Земли и созданию карты мира.

В исламском мире алгебра аль-Хорезми положила начало долгой традиции. Позднейшие математики, такие как Абу Камиль в Египте, писали собственные книги под тем же названием, развивая его методы; спустя века Омар Хайям геометрически решал кубические уравнения в трактате, тоже принадлежащем к этой линии. Его нулевой меридиан и координаты использовали многие позднейшие мусульманские географы.

В XII веке учёные в Испании и других местах переводили арабскую науку на латынь. Роберт Честерский перевёл алгебру в Сеговии в 1145 году, а Герард Кремонский сделал ещё один перевод. Алгебра оставалась главным математическим учебником в европейских университетах вплоть до XVI века. Арифметические тексты распространили индо-арабские цифры в Европе; позднейшие авторы, включая Леонардо Пизанского (Фибоначчи), опирались на эту традицию.

В 1831 году Фредерик Розен опубликовал первый английский перевод алгебры, основанный на единственной арабской рукописи, хранящейся в Оксфорде. В честь аль-Хорезми названы кратер на обратной стороне Луны и два астероида, а память о нём широко чтят в Иране, Узбекистане и арабском мире.

Хроника ат-Табари даёт имя Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми аль-Маджуси аль-Кутрубулли. Историк науки Дж. Дж. Тумер счёл, что аль-Маджуси («маг», то есть зороастриец) указывает на зороастрийское происхождение, а аль-Кутрубулли — на Кутрубулль, район близ Багдада. Поскольку предисловие к алгебре благочестиво мусульманское, Тумер предположил, что эти прозвища могли описывать его предков или его юность.

Рошди Рашед отверг такое прочтение. Он утверждал, что первоначально в этом отрывке назывались два разных человека — «аль-Хорезми и аль-Маджуси аль-Кутрубулли», — а арабское слово ва («и») выпало в одной из ранних копий. Согласно этому взгляду, прозвища ничего не говорят нам об аль-Хорезми. Другие учёные, например Дэвид Э. Кинг, приняли связь с Кутрубуллем. Это разногласие показывает, насколько сильно биография зависит от истолкования единственной рукописной традиции.

Ещё одно предположение, выдвинутое Д. М. Данлопом, состоит в том, что аль-Хорезми может быть тем же лицом, что и Мухаммад ибн Муса ибн Шакир, старший из братьев Бану Муса, тоже ведущих учёных Багдада. Это отождествление не получило широкого признания. Самое надёжное утверждение — что в нашем распоряжении лишь немногочисленные позднейшие сообщения и собственные предисловия автора, а популярные рассказы часто заполняют пробелы вымыслом.

Историки резко расходятся во мнениях об источниках и оригинальности алгебры аль-Хорезми. Вавилонские писцы решали квадратные задачи двумя тысячами лет раньше, Диофант Александрийский написал «Арифметику», а индийские математики, такие как Брахмагупта, имели правила для квадратных уравнений и использовали отрицательные числа и сокращённую запись. Аль-Хорезми же, напротив, писал полностью словами и избегал отрицательных величин.

Некоторые учёные, включая Тумера и Рашеда, считают, что геометрические доказательства показывают знакомство с «Началами» Евклида, особенно с книгой II, которую перевёл его багдадский коллега аль-Хаджжадж. Соломон Ганц утверждал обратное: в алгебре нет ни определений, ни аксиом, ни доказательств в евклидовском стиле, а её геометрия ближе к практическому измерению. Ганц, а позже Карен Паршалл указывали на параллели с «Мишнат ха-Миддот», геометрическим текстом на иврите, хотя датировка самого этого текста тоже оспаривается.

Мнения о его достижении сильно расходятся. Ганц называл его более достойным звания «отца алгебры», чем Диофанта, потому что он преподавал алгебру «в элементарной форме и ради неё самой». Рашед подчёркивал новизну того, что само уравнение, исчерпывающе классифицированное, стало предметом изучения. Карл Бойер отмечал, что его труд был более элементарным и более «риторическим», чем у Диофанта или Брахмагупты, но по духу ближе к современной элементарной алгебре. Тумер, напротив, считал его математику саму по себе довольно скромной, признавая при этом её огромное влияние.

Полезный способ обрисовать этот спор — отделить приёмы от организации. Многие отдельные приёмы существовали до него; новым была систематичная, пригодная для обучения структура — стандартные формы, общие операции и доказательства, — представленная на языке, ставшем международным средством науки. Именно влияние этой структуры, а не какое-либо отдельное открытие, объясняет его место в истории математики.

Труды аль-Хорезми сохранились очень неравномерно. Алгебра существует на арабском в единственной рукописи в Оксфорде, использованной Розеном, а также в средневековых латинских версиях (одна латинская копия хранится в Кембридже). Арифметика сохранилась только в латинских переработках, расходящихся с утраченным оригиналом, так что восстановление того, что написал сам автор, требует сравнения нескольких латинских текстов. Зидж сохранился только через латинскую редакцию аль-Маджрити. География сохранилась в одной арабской рукописи в Страсбурге. Другие короткие труды о солнечных часах, астролябии и кибле сохранились в рукописях Берлина, Стамбула, Ташкента, Каира и Парижа; некоторые атрибуции сомнительны.

Его «Китаб ат-тарих», книга летописей, утрачена, но её цитировал в XI веке сирийский епископ Илия Нисибинский. Это напоминает нам, что современники знали его и как историка и хронолога, а не только как математика.

Роль Дома мудрости также требует осторожности. Авторы XIX и XX веков часто описывали его как великую академию или университет с научными отделениями. Некоторые современные историки утверждают, что ранние источники описывают нечто более скромное — дворцовую библиотеку и место, где работали учёные, — и что более грандиозная картина является позднейшей проекцией. Связь аль-Хорезми с двором халифа ясна из его посвящений; точное институциональное устройство менее определённо.