Евклид

Евклид — древнегреческий математик, которого часто называют «отцом геометрии». Он жил и преподавал в Александрии — городе в Египте, основанном Александром Македонским и управлявшемся грекоязычными царями из династии Птолемеев. Обычно его деятельность датируют примерно 300 годом до н. э.

Он знаменит прежде всего одной книгой — «Началами». В ней он собрал геометрию и арифметику, разработанные греческими математиками за предыдущие века, и выстроил их в единую логическую цепь, где каждый результат доказывается из предыдущих. Многие теоремы были открыты другими, но именно организация материала, многие из доказательств и общий замысел сделали книгу главным учебником математики более чем на два тысячелетия.

Наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским Евклида обычно причисляют к величайшим математикам древности. Сегодня «евклидовой геометрией» называют обычную геометрию плоского пространства, которую изучают в школе.

О жизни Евклида почти ничего не известно достоверно. Ни один писатель его времени не оставил его описания, не сохранилось и прижизненного портрета; изображения Евклида в позднейшем искусстве вымышлены. Большая часть сведений о нём восходит к двум учёным, жившим на шесть-семь веков позже: Паппу Александрийскому (начало IV века н. э.) и Проклу (V век н. э.).

Прокл пишет, что Евклид жил после учеников Платона и до Архимеда, во времена первого царя Птолемея — это помещает его примерно в 300 год до н. э. Папп упоминает, что более поздний математик Аполлоний учился у учеников Евклида в Александрии, откуда следует, что Евклид основал там математическую школу. Часто предполагают, что он учился в Афинах у последователей Платона, поскольку его труд опирается на геометрию платоновского круга, но это лишь догадка.

О нём рассказывают две знаменитые истории. По одной, царь Птолемей просит указать более короткий путь к геометрии, и Евклид отвечает, что «в геометрии нет царской дороги». По другой, ученик спрашивает, какую выгоду он получит от изучения геометрии, и Евклид велит слуге дать ему монету, «раз уж он должен извлекать выгоду из того, чему учится». Обе истории записаны спустя века, а почти тождественная версия первой рассказывается и про другого математика в связи с Александром Македонским, поэтому историки считают их легендами.

Александрия была основана в 331 году до н. э. После смерти Александра власть над Египтом взял его полководец Птолемей, и примерно с 306 года до н. э. его правление принесло стабильность, редкую во время войн между преемниками Александра. Птолемеи создали великие учреждения, включая Мусейон («святилище Муз») — центр исследований и обучения, и знаменитую Библиотеку.

В Александрию стекались учёные со всего греческого мира. Евклида часто представляют одним из первых учёных Мусейона, хотя ни один древний источник не говорит об этом прямо. Ясно одно: Александрия на века стала ведущим центром греческой математики и науки, где позже работали Эратосфен, Герон, астроном Птолемей, Папп и Теон.

Так Евклид оказывается в точке пересечения: он унаследовал математику, разработанную в Афинах поколением Платона и Аристотеля, а его труд стал основой последовавшей за ним александрийской традиции.

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, Stoicheia) делятся на тринадцать «книг», которые больше похожи на длинные главы. Книги с 1 по 6 посвящены планиметрии: треугольникам, параллельным прямым, площадям, окружностям, правильным многоугольникам и подобным фигурам. Книга 5 излагает общую теорию отношений и пропорций, вероятно основанную на работе Евдокса Книдского.

Книги с 7 по 9 посвящены целым числам: делимости, простым числам и числам в непрерывной пропорции. Книга 10, самая длинная и трудная, классифицирует несоизмеримые (в современных терминах — иррациональные) величины. Книги с 11 по 13 обращаются к стереометрии и завершаются построением пяти правильных тел (куба, тетраэдра, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра) и доказательством, что других правильных тел не существует.

Ещё две книги, 14 и 15, добавлялись во многие поздние списки, но написаны другими авторами; книгу 14 приписывают Гипсиклу. В «Началах» нет ни введения, ни исторических замечаний, почти ничего личного: это последовательность определений, постулатов, утверждений и доказательств, каждое со своим чертежом.

Книга 1 открывается 23 определениями, такими как «точка есть то, что не имеет частей» и «линия же — длина без ширины». За ними следуют пять постулатов и пять общих понятий. Постулаты допускают основные построения геометрии с помощью линейки и циркуля: провести прямую линию между двумя точками, продолжить линию, начертить окружность любым центром и радиусом; они также утверждают, что все прямые углы равны между собой. Общие понятия — это общие истины о величинах, такие как «равные одному и тому же равны между собой» и «целое больше части».

Всё остальное — предложения: либо задача (построение, которое нужно выполнить), либо теорема (утверждение, которое нужно доказать). Каждое предложение формулируется в общем виде, иллюстрируется чертежом, доказывается шаг за шагом только с опорой на уже установленное и завершается формулой, которую в латинских переводах передавали как «что и требовалось доказать» (quod erat demonstrandum, QED).

Эта аксиоматико-дедуктивная структура, в которой целая область знания вырастает из небольшого набора явно сформулированных исходных положений, — самое долговечное наследие Евклида. Позднейшие авторы в философии, физике и математике не раз заимствовали эту форму. Аристотель уже рассуждал о первых началах и доказательстве, и термины Евклида перекликаются с этими рассуждениями, но именно «Начала» — древнейший из сохранившихся масштабных примеров этого метода на практике.

Книга 1 завершается теоремой Пифагора (предложение 47) и обратной ей теоремой (48). Это древнейшее из сохранившихся доказательств теоремы, опирающееся на чертёж, который иногда шутливо называют «ветряной мельницей» или «креслом невесты». Ранее в той же книге предложение 5 (углы при основании равнобедренного треугольника равны) получило в средневековой Европе название pons asinorum, «мост ослов», который не могли одолеть слабые ученики.

Книга 7 начинается с процедуры, которую теперь называют алгоритмом Евклида: чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно поочерёдно вычитать (или делить) меньшее из большего, пока остаток не станет равен нулю. Это один из старейших алгоритмов, до сих пор применяемых на практике, в том числе в компьютерной криптографии. Предложение 20 книги 9 доказывает, что простых чисел больше, чем любое заданное число, — иными словами, что простые числа никогда не заканчиваются; это доказательство преподают и сегодня.

Предложение 11 книги 2 и последующие предложения строят деление отрезка в «крайнем и среднем отношении», ныне называемом золотым сечением, которое используется при построении правильного пятиугольника, додекаэдра и икосаэдра. Книга 12 применяет метод исчерпывания — предшественник интегрального исчисления, — чтобы показать, например, что объём конуса составляет треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.

Евклид написал гораздо больше, чем «Начала». «Данные» объясняют, что можно вывести, когда некоторые элементы фигуры считаются «данными», — своего рода руководство по решению задач. «Оптика» — древнейший из сохранившихся греческих трактатов о перспективе: зрение в нём трактуется как прямые линии (зрительные лучи), расходящиеся из глаза конусом, и доказывается, например, почему более далёкие предметы кажутся меньше. «Явления» применяют сферическую геометрию к астрономии, описывая движение небесных тел, видимое с Земли.

«О делении фигур», сохранившееся лишь частично в арабском переводе, посвящено разрезанию фигур на части в заданных отношениях. Ему приписывают «Катоптрику», трактат о зеркалах, но многие исследователи сомневаются в его авторстве.

Несколько трудов утрачены и известны лишь по позднейшим описаниям: «Конические сечения» в четырёх книгах, позже вытесненные трудом Аполлония; «Поризмы» — собрание около двухсот предложений особого рода; «Псевдарии» — книга о геометрических ошибках, помогающая начинающим их избегать; и «Поверхностные места».

Древнейшее свидетельство существования «Начал» — набор из шести остраков (черепков с надписями) из Элефантины в Египте, датируемых III веком до н. э. и содержащих предложения из книги 13. Самый ранний сохранившийся папирус с текстом «Начал», Оксиринхский папирус 29, датируется примерно 75–125 годами н. э. В IV веке н. э. Теон Александрийский подготовил издание, которое легло в основу почти всех позднейших греческих рукописей.

Около 800 года, при халифе Харуне ар-Рашиде, аль-Хаджжадж ибн Юсуф ибн Матар перевёл «Начала» на арабский язык; более поздний перевод Исхака ибн Хунайна был отредактирован Сабитом ибн Куррой. Математики исламского мира изучали труд, комментировали и развивали его, в том числе пытались доказать постулат о параллельных. Около 1120 года английский монах Аделард Батский перевёл его с арабского на латынь, а латинская версия Кампано из Новары XIII века стала стандартной на Западе.

Первое печатное издание, выпущенное Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году, стало одной из первых напечатанных книг по математике вообще; с тех пор вышло более тысячи изданий. Первый английский перевод, сделанный Генри Биллингсли с предисловием Джона Ди, появился в 1570 году. В 1607 году иезуит Маттео Риччи и учёный Сюй Гуанци опубликовали китайский перевод первых шести книг под названием «Цзихэ юаньбэнь», который познакомил Восточную Азию с евклидовой геометрией и подарил китайскому языку слово цзихэ («геометрия»).

Пятый постулат Евклида по сути гласит: если прямая, пересекающая две другие прямые, образует с одной стороны внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые при достаточном продолжении пересекутся именно с этой стороны. Это равносильно утверждению, что через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной. По сравнению с остальными постулатами он длинен и не самоочевиден, и Евклид избегает пользоваться им вплоть до предложения 29 книги 1.

На протяжении двух тысячелетий математики — включая Птолемея, Прокла, Ибн аль-Хайсама, Омара Хайяма, Насир ад-Дина ат-Туси и позднее европейцев вроде Саккери — пытались вывести его из остальных четырёх. Все попытки провалились, хотя в ходе них было найдено множество равносильных утверждений.

В начале XIX века Николай Лобачевский (опубликовал результаты в 1829 году), Янош Бойяи и, в частных заметках, Карл Фридрих Гаусс показали, что можно построить непротиворечивую геометрию, в которой пятый постулат неверен. Позднее Бернхард Риман разработал и другие виды искривлённой геометрии. Эти неевклидовы геометрии доказали независимость постулата от остальных, а впоследствии стали математическим языком общей теории относительности Эйнштейна. По иронии судьбы решение Евклида сформулировать постулат как допущение, а не притворяться, что он его доказал, сегодня считают признаком его логической проницательности.

«Начала» часто называют самым успешным учебником в истории и, после Библии, одной из самых часто переводимых, издаваемых и изучаемых книг вообще. В Европе она оставалась основой математического образования вплоть до XX века; выражение «изучать Евклида» просто означало «изучать геометрию».

Её влияние вышло далеко за пределы математики. Мыслители, восхищавшиеся её строгостью, пытались изложить философию, этику и физику «геометрическим способом»: «Этика» Спинозы написана в виде определений, аксиом и предложений, а «Начала» Ньютона следуют похожему образцу. Печатные издания вдохновляли художников Возрождения, таких как Пьеро делла Франческа, а издание Оливера Бирна 1847 года заменило буквы цветными диаграммами, чтобы облегчить обучение.

Имя Евклида живёт в понятиях «евклидова геометрия», «алгоритм Евклида», «теорема Евклида о простых числах», в названии лунного кратера и в космическом телескопе Европейского космического агентства «Евклид», запущенном в 2023 году для картографирования геометрии тёмной Вселенной.

Самое раннее твёрдое упоминание Евклида содержится в предисловии к книге 1 «Конических сечений» Аполлония (начало II века до н. э.), которое критикует трактовку Евклидом задачи о месте на трёх и четырёх линиях. Архимед и Аполлоний принимают предложения «Начал» как нечто само собой разумеющееся, откуда следует, что труд был в обращении уже к III веку до н. э., хотя Архимед пользуется более старой теорией пропорций, чем та, что изложена в книге 5. Единственное упоминание Евклида в трактате Архимеда «О шаре и цилиндре», на которое опирался в своей датировке Прокл, Йоханнес Хьельмслев считал позднейшей вставкой. Надёжные ссылки на «Начала» в точно датированных трудах начинаются лишь с Галена и Александра Афродисийского во II веке н. э.

Позднейшая традиция только умножила путаницу. Римский компилятор Валерий Максим вплёл имя Евклида в историю о Платоне и удвоении куба, а средневековые византийские и латинские авторы путали математика с Евклидом Мегарским — философом и учеником Сократа, жившим веком раньше; в печатных «Началах» 1482 года его называют «Мегарцем». Учёные эпохи Возрождения, в частности Пётр Рамус, разоблачили эту ошибку. Средневековые арабские источники наделяют его отцом по имени Навкрат и родиной в Тире — детали, которые историки считают вымышленными.

Ввиду скудости свидетельств историк Жан Итар выдвинул три гипотезы: что Евклид был единственным историческим автором; что он возглавлял в Александрии коллектив, участники которого работали над трудами и продолжали писать под его именем; или что «Евклид» был коллективным псевдонимом — подобно тому, как «Николя Бурбаки» служило именем группы математиков XX века. Большинство историков принимают первую гипотезу, признавая при этом, что Евклид во многом опирался на предшественников и что его школа могла участвовать в формировании текстов; различия в стиле между книгами объясняются использованными им источниками.

«Начала», которые мы читаем, — это реконструкция. Веками все греческие списки восходили к изданию Теона IV века. В 1808 году Франсуа Пейрар обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись (Vat. gr. 190, переписанную в X веке), не восходящую к Теону; критическое издание Й. Л. Хайберга (1883–1888) считало её самым достоверным свидетелем, исправляя её по остальным спискам, а английский перевод Томаса Хита (1908) следовал за Хайбергом. В арабских переводах отсутствуют многие пояснительные добавления, встречающиеся в обеих греческих версиях, что вызвало споры о том, сохраняют ли они более ранний, более сжатый текст; вопрос остаётся открытым.

Толкование ставит и собственные проблемы. Идея о том, что книга 2 содержит «геометрическую алгебру» — алгебраические тождества, облечённые в геометрическую форму, — была общепринятой в начале XX века; начиная с 1970-х годов такие историки, как Сабетай Унгуру, критиковали её как анахронизм, настаивая, что греческие величины, отношения и числа нужно понимать в их собственных терминах. Схожая осторожность нужна и при чтении книги 5 как теории вещественных чисел или книги 10 как трактата об иррациональных числах в современном смысле.

Наконец, «Начала» не безупречны логически. Евклид нередко полагается на то, что показывает чертёж, — например, что две окружности, построенные в предложении 1 книги 1, действительно пересекаются, — или на невысказанные предположения о порядке точек и об отношении «между». В конце XIX века Мориц Паш выявил такие пробелы, а «Основания геометрии» Давида Гильберта (1899) дали полную систему аксиом; позднее Альфред Тарский предложил другую, а в 2017 году Майкл Бисон с коллегами с помощью компьютерных систем проверки доказательств проверил предложения книги 1 на основе евклидоподобной системы аксиом. Некоторые современные исследователи утверждают, что рассуждения Евклида с помощью чертежей подчиняются собственным последовательным правилам, а не являются просто изъяном.