Ариабхата

Ариабхата, которого часто называют Ариабхатой I, чтобы отличить от более позднего астронома с тем же именем, — самый ранний индийский математик-астроном, чей собственный труд дошёл до нас целиком. Он автор «Ариабхатии», сжатого трактата в санскритских стихах, который на протяжении более тысячи лет определял индийскую астрономию.

Почти всё, что мы знаем о его жизни, происходит из нескольких строк его собственной книги и замечаний более поздних комментаторов. В третьей главе он говорит, что когда прошло 3600 лет Кали-юги — нынешней эпохи индийской космологии, — ему было 23 года. Этот год соответствует 499 году н. э., значит, он родился в 476 году. Одни учёные полагают, что 499 год — это год написания книги, другие — что это просто выбранная им астрономическая опорная точка.

Его имя правильно пишется «Ариабхата», а не «Ариабхатта». Более поздние астрономы, такие как Брахмагупта, много раз упоминают его именно так, и написание с одним «т» также соответствует размеру санскритского стиха.

Ни одного портрета Ариабхаты не существует. Статуи и изображения, созданные в наше время, например статуя в Межуниверситетском центре астрономии и астрофизики в Пуне, — плод воображения.

Позиционная запись. В математической главе Ариабхата называет степени десяти от «одного» (эка) до «тысячи миллионов» (вринда) и утверждает, что «от разряда к разряду каждый в десять раз больше предыдущего». Это ясное изложение принципа десятичной позиционной системы, и его правила извлечения квадратных и кубических корней действуют в такой системе разряд за разрядом. Однако в самой книге он записывал числа словами: небольшие числа — обычными числительными, а большие константы первой главы — изобретённым им кодом, в котором санскритские слоги обозначают числа, чтобы те укладывались в стих.

Ноль. В «Ариабхатии» нет символа для нуля и нет правил сложения, вычитания или умножения с нулём. Объясняя свой слоговой код, Ариабхата называет разряды числа словом «кха» — «пространство»; позднее это же слово стало одним из самых распространённых санскритских обозначений нуля. Историки расходятся во мнениях о том, что он знал. Жорж Ифра, которого цитирует MacTutor, считал «крайне вероятным», что Ариабхата знал знак нуля, тогда как его английский переводчик Уолтер Юджин Кларк писал, что вопрос об использовании такого знака в его время «всё ещё спорен». Несомненно лишь, что самые ранние сохранившиеся правила для нуля как числа принадлежат Брахмагупте (628), а самая ранняя датированная индийская надпись с нулём, признаваемая всеми учёными, — надпись в Гвалиоре 876 года. Поэтому утверждение «Ариабхата изобрёл ноль» — популярное упрощение, а не то, что сказано в его книге.

Пи и синусы. Один стих даёт правило «прибавь 4 к 100, умножь на 8 и прибавь 62 000» для длины окружности диаметром 20 000 единиц и называет результат приближённым. Это даёт π ≈ 3,1416. Значение было очень хорошим, но не единственным: Птолемей в Александрии во II веке пользовался значением около 3,14166, а в Китае Цзу Чунчжи (429–501) в конце V века нашёл 355/113 — с точностью до шести знаков после запятой. Другой стих — тоже всего один — перечисляет 24 числа: разности между последовательными синусами, или полухордами, с шагом 3°45′ в окружности радиусом 3438 единиц. По ним можно восстановить полную таблицу синусов для четверти окружности.

Земля и затмения. Ариабхата указывает, что за великий цикл в 4 320 000 лет Земля совершает 1 582 237 500 оборотов, и сравнивает движение звёзд на запад с тем, как человеку в лодке кажется, что движется берег. Он утверждает, что Луна закрывает Солнце, а огромная тень Земли закрывает Луну. Суточное вращение Земли задолго до него, в IV веке до н. э., предполагал грек Гераклид Понтийский, но в рамках индийской астрономии утверждение Ариабхаты было смелым и тщательно рассчитанным, и многие его преемники его отвергли.

Ариабхата работал в эпоху, которую историки часто называют эпохой Гуптов, когда значительной частью северной Индии правила династия Гуптов из своего центра в Магадхе (современный Бихар). Эта эпоха памятна санскритской литературой, скульптурой, храмовым строительством и научными сочинениями. Паталипутра, старая имперская столица на Ганге, была крупным центром учёности и торговли.

В «Ариабхатии» он говорит, что излагает знание, почитаемое в Кусумапуре. И индуистская, и буддийская традиции, а также комментатор VII века Бхаскара I отождествляют Кусумапуру с Паталипутрой. Один из более поздних стихов называет его куладой — главой учреждения — в Кусумапуре. Поскольку неподалёку находился крупный монастырь Наланда, иногда утверждают, что он возглавлял Наланду, но в его собственных сочинениях этому нет подтверждения, и большинство историков считают это предположением.

Место его рождения менее определённо. Бхаскара I называет его «ашмакия» — «принадлежащий Ашмаке», области, которую обычно помещают в Декане между реками Нармада и Годавари. Некоторые авторы выступали за Кералу на далёком юге, отмечая, что многие поздние комментарии к его труду были написаны именно там. Другие полагают, что он родился близ Паталипутры. Имеющиеся свидетельства не решают этот вопрос окончательно.

Местное предание в Бихаре связывает его с обсерваторией при храме Солнца в Тарегане, к югу от Патны. Это тоже позднейшая традиция, а не документированная история.

«Ариабхатия» поразительно коротка. В ней четыре главы (пады). Первая, Гитикапада, содержит 13 стихов: обращение, хитроумную систему записи чисел слогами и таблицы астрономических констант, включая число оборотов планет за великий цикл в 4 320 000 лет и таблицу синусов, уместившуюся в единственном стихе.

Вторая глава, Ганитапада, содержит 33 стиха по математике: квадраты и кубы и их корни, площади и объёмы, свойства окружностей и треугольников, тени, отбрасываемые гномоном (вертикальным стержнем, служащим солнечными часами), арифметические прогрессии, проценты и методы решения уравнений. Третья, Калакрияпада, содержит 25 стихов о единицах времени и движениях планет. Четвёртая, Голапада, содержит 50 стихов о небесной сфере, форме Земли, дне и ночи и затмениях.

Книга написана в сжатом стиле индийской технической литературы. Каждый стих — мнемоническая опора, вмещающая правило в несколько слов, которые ученик заучивал наизусть, а учитель затем разъяснял. Именно поэтому «Ариабхатию» всегда читали вместе с комментариями. Самый ранний из сохранившихся, принадлежащий Бхаскаре I, датируется 629 годом.

Ариабхата написал по меньшей мере ещё один труд — астрономическую систему, в которой сутки начинаются в полночь, а не на восходе солнца. Он утрачен, но более поздние астрономы, такие как Варахамихира, Брахмагупта и Бхаскара I, цитируют или описывают его; в нём содержались также описания таких приборов, как гномон и водяные часы.

Самый знаменитый стих Ганитапады даёт правило для длины окружности. Его можно перевести так: «Прибавь четыре к ста, умножь на восемь и прибавь шестьдесят две тысячи: это приближённая длина окружности с диаметром двадцать тысяч». Результат, 62 832, делённое на 20 000, даёт π ≈ 3,1416 — верно до четвёртого знака после запятой. Ариабхата использовал слово «асанна», означающее «приближающийся» или «близкий», что некоторые историки читают как знак того, что он знал: это значение можно лишь приблизить.

Если греческие астрономы, например Птолемей, составляли таблицы полных хорд окружности, то Ариабхата, как и другие индийские астрономы, работал с половиной хорды — «ардха-джья», или просто «джья». Это длина R sin θ в окружности радиуса R; разделите её на радиус — и получится современный синус. Его таблица, уместившаяся в один стих, охватывает четверть окружности за 24 шага по 3°45′; строго говоря, она перечисляет разности между последовательными синусами в окружности радиусом 3438 единиц, а другой стих объясняет, как такую таблицу можно вычислить. Само название проделало долгий путь. Арабские астрономы заимствовали «джья» как «джиба»; поскольку в арабском письме короткие гласные обычно не пишутся, позднейшие читатели приняли это слово за «джайб» («складка» или «карман»), а латинские переводчики передали его как «sinus»; отсюда английское sine и русское «синус».

Ещё один важный вклад — метод нахождения целочисленных решений уравнений вида ax − by = c, известных как неопределённые, или линейные диофантовы уравнения. Индийские математики называли этот приём «куттака», «измельчитель», потому что он шаг за шагом разбивает числа на всё меньшие, во многом подобно алгоритму Евклида. Такие задачи были важны для астрономии, где требовалось находить моменты совпадения нескольких циклов. Бхаскара I и более поздние математики усовершенствовали этот метод.

Книга также даёт правила для сумм арифметических прогрессий и сумм квадратов и кубов первых n чисел, формулы площадей и объёмов и методы извлечения квадратных и кубических корней. Эти методы извлечения корней продвигаются разряд за разрядом по десятичным цифрам числа. Как он на самом деле записывал числа при вычислениях, неизвестно; его переводчик Кларк допускал, что использовалась доска, расчерченная на столбцы, где пустой столбец обозначал пустой разряд. В самой книге он применял слоговой код лишь для больших констант первой главы, а в остальных местах — обычные числительные.

Самое дерзкое утверждение Ариабхаты касается Земли. В первой главе он приводит число оборотов Земли за великий цикл, а в Голападе объясняет суточное движение звёзд с помощью образа: подобно тому как человек в лодке, движущейся вперёд, видит неподвижные предметы на берегу движущимися назад, так и люди в Ланке (опорной точке на экваторе) видят неподвижные звёзды движущимися на запад. Большинство астрономов его времени, как в Индии, так и в других странах, верили, что Земля неподвижна, а небеса вращаются вокруг неё.

Эта идея не была широко принята. Более поздние индийские астрономы, включая Брахмагупту, отвергли её, а некоторые комментаторы даже изменили формулировку стихов так, чтобы двигались небеса. Спустя века персидский учёный аль-Бируни сообщал, что последователи Ариабхаты считали, что Земля вращается. В самом тексте есть загадка: в стихе, следующем сразу за образом лодки, говорится, что сфера звёзд, гонимая космическим ветром, движется на запад. Тем не менее Кларк счёл, что убеждение Ариабхаты во вращении Земли ясно выражено в других местах книги и что именно так его понимали критики.

Ариабхата также дал ясное физическое объяснение затмений. Он утверждал, что Луна и планеты светят отражённым солнечным светом и что лунное затмение происходит, когда Луна входит в тень Земли, а солнечное — когда Луна закрывает Солнце. В народных представлениях в затмениях винили Раху — демона, который проглатывает Солнце или Луну. Стихи Ариабхаты вычисляют размер земной тени и ту часть Луны или Солнца, что будет затемнена.

Его числовые значения были впечатляюще точны. Его величина времени одного оборота Земли относительно звёзд соответствует 23 часам 56 минутам и примерно 4 секундам, что очень близко к современному значению. Его продолжительность звёздного года составляет около 365 дней 6 часов 12 минут — лишь на несколько минут больше современной величины.

Индийская астрономия была тесно связана с календарём и ритуалом. Жрецам и астрологам нужно было знать положения Солнца, Луны и планет, чтобы устанавливать праздники, благоприятные моменты и лунные сутки, называемые титхи. Калакрияпада Ариабхаты даёт методы вычисления средних положений планет на любой заданный день, добавления вставных месяцев, чтобы согласовать лунный и солнечный календари, и наименования дней недели.

Более ранняя индийская космология делила время на огромные эпохи. Ариабхата сохранил великий цикл в 4 320 000 лет, но разделил его на четыре равные части, вместо неравных эпох традиционной пуранической космологии. Это отступление от традиции было одной из причин, по которым Брахмагупта резко критиковал его.

Планетная система «Ариабхатии» помещает Землю в центр. Истинное положение планеты вычисляется из её среднего положения с помощью двух видов поправок, применяемых в несколько шагов: поправки манда, учитывающей неравномерность собственного движения планеты, и поправки шигхра, которая для планет связана с Солнцем; обе представляются как малые круги, переносимые по большим. Двигаясь от Земли наружу, он располагает Луну, Меркурий, Венеру, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, а затем звёзды. Другие индийские системы того времени устроены во многом так же, и историки, например Дэвид Пингри, утверждали, что они перерабатывают греческие модели, более древние, чем у Птолемея.

«Ариабхатия» начинает отсчёт времени с момента, когда, как считалось, все планеты выстроились в одну линию в начале Кали-юги, в 3102 году до н. э. Эта эпоха, общая и для других индийских систем, служила неподвижной отправной точкой для вычисления положений планет.

Ариабхата основал то, что позже стало известно как Арьяпакша, «школа Ариабхаты», одну из главных традиций индийской астрономии. Бхаскара I, писавший около столетия спустя, создал подробный комментарий в 629 году и восхвалял его как мастера, достигшего дальнего берега океана математики, кинематики и сферики. Брахмагупта, писавший в 628 году, критиковал многие его идеи, но подробно их разбирал, что показывает, насколько влиятельным он был.

«Ариабхатия» была особенно важна в Южной Индии. В Керале астрономы и математики создали длинный ряд комментариев, венцом которого стал труд Нилакантхи Сомаяджи около 1500 года. Керальская математическая школа, знаменитая своими работами о бесконечных рядах, считала себя продолжательницей традиции Ариабхаты.

Составители календарей по всей Индии использовали вычисления в традиции Ариабхаты для подготовки панчанги, традиционного альманаха. Его слоговую числовую систему широко заимствовали южноиндийские астрономические труды.

Более поздний астроном, известный как Ариабхата II, написал около X века труд под названием «Махасиддханта». Его не следует путать с автором «Ариабхатии».

Индийские астрономические труды попали на запад в VIII веке, когда учёные при дворе Аббасидов в Багдаде переводили санскритские тексты на арабский язык. Через эти переводы индийские таблицы синусов и методы вычисления положений планет вошли в исламскую астрономию, которая позже передала их в Европу. Точный путь, по которому шли собственные идеи Ариабхаты, не всегда ясен, а арабские источники часто говорят об индийской астрономии в целом, не называя его по имени.

Аль-Бируни, написавший в XI веке знаменитую книгу об Индии, знал об Ариабхате и его последователях и обсуждал их взгляд на вращение Земли. История слова «синус» — от санскритского «джья» через арабский до латинского «sinus» — небольшой, но яркий след этой цепи передачи знаний.

В современной Индии Ариабхата стал национальным символом научных достижений. Первый индийский спутник, построенный Индийской организацией космических исследований и запущенный на советской ракете 19 апреля 1975 года, назвали «Ариабхата». Изображение спутника появилось на оборотной стороне индийской банкноты в две рупии. Его имя носят также лунный кратер, научно-исследовательский институт наблюдательных наук близ Найнитала и университет в Патне.

В популярных изложениях Ариабхату часто представляют как изобретателя нуля или как человека, предвосхитившего гелиоцентрическую систему Коперника. Оба утверждения выходят за пределы имеющихся свидетельств, как объясняется в разделе о том, что на самом деле говорится в «Ариабхатии», и в разделах для продвинутого уровня.

Знал ли Ариабхата ноль? В «Ариабхатии» нет символа для нуля; её большие константы записаны его слоговым кодом, а остальные числа — обычными числительными. Однако его методы извлечения квадратных и кубических корней действуют разряд за разрядом в десятичной позиционной системе, а его система обозначений присваивает слоги степеням десяти, у некоторых из которых может быть нулевой коэффициент. Жорж Ифра и другие утверждают, что понятие нуля как заполнителя разряда тем самым подразумевалось. Большинство историков согласны, что десятичная позиционная арифметика уже применялась; вопрос о том, когда ноль стал явным числом со своими правилами, обычно возводят к Брахмагупте в 628 году.

Знал ли он, что π иррационально? Слово «асанна», «приближающийся», можно понять как простое признание того, что 3,1416 — приближение, а можно, более смело, — как прозрение о том, что точной дроби не существует. Некоторые индийские историки математики склонялись к более сильному прочтению, но сам стих не содержит никакого рассуждения, поэтому доказать, что Ариабхата знал об иррациональности π, нельзя; впервые её доказал в Европе Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году. MacTutor добавляет любопытное наблюдение: сам Ариабхата, по-видимому, на практике предпочитал √10 (около 3,162).

Была ли его система тайно гелиоцентрической? Историк Б. Л. ван дер Варден утверждал, что особенности планетной модели Ариабхаты, особенно роль эпицикла шигхра, связанного со средним движением Солнца, выдают лежащую в основе гелиоцентрическую теорию, возможно унаследованную из утраченных греческих источников. Ноэль Свердлоу и другие решительно отвергли эту трактовку, указывая, что текст явно геоцентричен и что похожие поправки встречаются в системах, которые гелиоцентрическими не являются. Общепринятая точка зрения состоит в том, что Ариабхата предложил вращающуюся Землю, а не Землю, обращающуюся вокруг Солнца.

Откуда взялись его параметры? Такие учёные, как Дэвид Пингри, прослеживали многие элементы индийской математической астрономии к вавилонским и эллинистическим источникам, адаптированным в Индии, тогда как другие подчёркивают самостоятельные индийские разработки. Соотношение между системой Ариабхаты и более ранними традициями «Питамаха-сиддханты» и «Сурья-сиддханты» остаётся предметом активных исследований.

«Ариабхатия» сохранилась во множестве рукописей, в основном из Южной Индии, обычно вместе с комментариями. Поскольку стихи столь сжаты, комментарии необходимы для их понимания. Комментарий Бхаскары I 629 года — самый ранний и самый подробный; более поздние комментарии из Кералы, включая труды Парамешвары и Нилакантхи Сомаяджи, показывают, как текст использовали и порой переосмысливали.

Современное изучение текста началось в XIX веке. Голландский учёный Хендрик Керн опубликовал санскритский текст вместе с комментарием Парамешвары в Лейдене в 1874 году. Английский перевод Уолтера Юджина Кларка вышел в 1930 году. Стандартное критическое издание с переводом и примечаниями подготовил К. С. Шукла в сотрудничестве с К. В. Сармой; оно опубликовано Индийской национальной академией наук в 1976 году. В той же серии Шукла отдельно издал комментарии Бхаскары I и Сомешвары, а Сарма — комментарий Сурьядевы Яджвана.

Биографических свидетельств немного, и они отчасти легендарны. Помимо стиха, указывающего его возраст, мы полагаемся на комментаторов, писавших столетием или более позже, и на региональные предания со своими собственными интересами: сторонники есть и у Кералы, и у Бихара, и у Декана. Поэтому историки отделяют то, что говорит сам текст, от позднейших приписываний.

Утраченная «полуночная» система восстанавливается по более поздним трудам, особенно по «Панчасиддхантике» Варахамихиры и «Кхандакхадьяке» Брахмагупты, которая следует полуночному отсчёту Ариабхаты. Обсуждался также труд, сохранившийся на арабском языке и якобы являющийся переводом Ариабхаты, но его связь с ним остаётся неопределённой.