阿耶波多

阿耶波多常被稱為「阿耶波多一世」，以便和後來一位同名的天文學家區分開來。他是現存著作完整流傳下來的印度數學家兼天文學家中，年代最早的一位。他所著的《阿耶波多曆算書》，是一部以梵文韻文寫成的精煉論著，塑造了印度天文學一千多年的樣貌。

我們對他生平的了解，幾乎全部來自他自己書中的寥寥數語，以及後世注釋家的隻言片語。在第三章中，他提到當印度宇宙論中「卡利瑜伽」這個當今紀元已過去3,600年時，自己23歲。那一年相當於西元499年，也就是說他生於西元476年。有些學者認為499年正是他寫下這本書的那一年；也有人認為這只是他選來作參照的一個天文時間點而已。

他名字的正確拼法是「Aryabhata」，而非常見誤寫的「Aryabhatta」。像婆羅摩笈多這樣的後世天文學家多次提到他的名字，而只有一個「t」的拼法也符合梵文詩句的格律。

阿耶波多沒有留下任何畫像。現代人所製作的雕像和圖畫，例如浦那大學間天文與天體物理中心（IUCAA）裡的那座雕像，都只是後人想像的產物。

阿耶波多活躍的時代，歷史學家通常稱為笈多時代，當時印度北部大部分地區由笈多王朝統治，其核心地帶為摩揭陀（今日的比哈爾邦）。這個時代以梵文文學、雕塑、寺廟建築和科學著述著稱。恆河畔的舊帝國首都華氏城，是當時學問與貿易的重要中心。

阿耶波多在《阿耶波多曆算書》中說，他所傳授的是在拘蘇摩補羅受人尊崇的知識。印度教與佛教兩種傳統，以及七世紀的注釋家婆什迦羅一世，都把拘蘇摩補羅認同為華氏城。後世的一句詩描述他是拘蘇摩補羅一所機構的負責人（kulapa）。由於著名的那爛陀寺就在不遠處，因此有人聲稱他曾主持那爛陀寺，但他自己的著作中並沒有這方面的證據，大多數歷史學家把這視為一種推測。

他的出生地則更不確定。婆什迦羅一世稱他為「āśmakīya」，意為「屬於阿什馬卡的人」，阿什馬卡通常被認為位於訥爾默達河與哥達瓦里河之間的德干地區。也有一些學者主張他出生於南方遠處的喀拉拉，理由是後世對他著作的許多注釋都出自那裡；另一些人則認為他出生在華氏城附近。現有證據無法確定答案。

比哈爾當地還流傳著一種說法，把他與巴特那以南塔雷加納太陽神廟的一座天文台聯繫在一起。不過這同樣是後世的傳說，而非有文獻記載的史實。

《阿耶波多曆算書》短得驚人，全書共分四章（pāda）。第一章「基提卡篇」（Gītikāpāda）有13句，內容包括祈願文、一套以音節表示數字的巧妙系統，以及天文常數表，其中包括在一個長達432萬年的大週期中各行星運行的圈數，還有一份濃縮成單獨一句詩的正弦值表。

第二章「數學篇」（Gaṇitapāda）有33句，內容涉及數學：平方、立方及其開方，面積與體積，圓與三角形的性質，日晷桿投下的影子，等差數列，利息計算，以及解方程式的方法。第三章「時間推算篇」（Kālakriyāpāda）有25句，講述時間單位與行星的運行。第四章「天球篇」（Golapāda）有50句，講述天球、地球的形狀、晝夜，以及日食月食。

全書以印度技術文獻特有的精煉文體寫成。每一句詩都是一個幫助記憶的裝置，把一條規則濃縮進寥寥數語，讓學生能夠背誦，再由老師加以講解。這也是為什麼《阿耶波多曆算書》向來都要搭配注釋一起閱讀。現存最早的注釋，是婆什迦羅一世寫於西元629年的版本。

阿耶波多至少還寫過另一部著作，是一套以子夜（而非日出）作為一天起點的天文體系。這部著作已經佚失，但後世的天文學家如瓦拉哈米希拉、婆羅摩笈多和婆什迦羅一世都曾引用或描述過它，其中還包括對日晷和水鐘等儀器的說明。

「數學篇」中最著名的一句詩，給出了求圓周長的規則，可以譯作：「在一百上加四，乘以八，再加上六萬二千：這便是直徑為兩萬的圓周長的近似值。」把62,832除以20,000，得到的π值約為3.1416，精確到小數點後第四位。阿耶波多用了「āsanna」（意為「接近」或「趨近」）這個詞，有些歷史學家認為，這顯示出他已經知道這個值只能是一個近似值。

阿耶波多所用的是圓的半弦，而不是希臘天文學家所用的全弦。這種半弦被稱為「ardha-jyā」，或簡稱「jyā」，本質上就相當於我們今天所說的正弦。他的表格給出了四分之一圓上以3°45′為間隔的24個角度所對應的數值，並說明了一種利用相鄰數值間的差來計算整份表格的方法。這個詞後來的流轉歷程相當精采：梵文的「jyā」變成阿拉伯文的「jība」，後來又被誤讀成「jayb」（意為「摺層」或「口袋」），再被譯成拉丁文的「sinus」，這正是英文單詞「sine（正弦）」的由來。

另一項重要貢獻，是一套求解諸如 ax − by = c 這類方程式整數解的方法，這類方程式被稱為不定方程式，或線性丟番圖方程式。印度數學家把這項技巧稱為「庫塔卡」（kuṭṭaka），意為「粉碎者」，因為它會像歐幾里得演算法一樣，把數字一步步分解成更小的數字。這類問題在天文學中十分重要，因為必須找出好幾個週期何時會重新對齊。婆什迦羅一世和後世的數學家進一步完善了這套方法。

書中也給出了等差數列求和、前n個數的平方和與立方和的公式，面積與體積的公式，以及開平方根與立方根的方法。這些求根的方法，只有在一套以十為底、具有位值制的數字系統中才能運作。阿耶波多本人並沒有直接寫下數字，而是使用了自己發明的一套系統，用音節來代表數字，這樣一來，即使是很長的數字，也能放進詩句之中。

阿耶波多最大膽的主張，與地球有關。他在第一章給出了地球在一個大週期中自轉的圈數，並在「天球篇」中用一個比喻來說明星辰每日運動的原理：正如坐在向前行駛的船上的人，會看見岸邊靜止的物體看似向後移動一樣，位於楞伽（赤道上的一個參考點）的人，也會看見靜止不動的星辰彷彿向西移動。當時印度及其他地區的大多數天文學家都相信，地球是靜止不動的，而天空繞著它旋轉。

這個想法並未被廣泛接受。包括婆羅摩笈多在內的後世印度天文學家都拒絕了這個看法，有些注釋家甚至更改了詩句的文字，改成是天空在移動。幾個世紀之後，波斯學者比魯尼記載，阿耶波多的追隨者主張地球會自轉。

阿耶波多也對日食月食提出了清楚的物理解釋。他指出，月亮和行星是靠反射太陽光而發亮的，月食是月亮進入地球的影子時發生的，日食則是月亮遮住太陽時發生的。在民間信仰中，日食月食被歸咎於惡魔羅睺吞噬太陽或月亮所致。阿耶波多的詩句則計算了地球影子的大小，以及月亮或太陽會被遮暗的部分。

他所提出的數值精確得令人印象深刻。他所給出的地球相對於恆星自轉一圈所需的時間，相當於23小時56分又約4秒，與現代測得的數值非常接近。他所算出的恆星年長度約為365日6小時12分，只比現代數值多出短短幾分鐘。

印度天文學與曆法、祭祀儀式緊密相連。祭司和占星家需要知道太陽、月亮和行星的位置，才能訂定節慶、吉時，以及被稱為「提提」（tithi）的陰曆日期。阿耶波多的「時間推算篇」提供了計算任一天各行星平均位置的方法，介紹了如何加入閏月以使陰曆和陽曆保持同步，也說明了如何為一週中的各天命名。

更早的印度宇宙論把時間劃分成幾個極為漫長的時代。阿耶波多保留了432萬年的大週期，但把它平分為四個相等的部分，而不是採用傳統往世書宇宙論中長短不一的四個時代。這種偏離傳統的做法，正是婆羅摩笈多嚴厲批評他的原因之一。

阿耶波多的行星模型是地心說：太陽、月亮和行星都繞著地球運行。為了重現行星不規則的運動，每顆行星都被賦予兩個本輪，一個較慢（曼達本輪），一個較快（希格拉本輪）。從地球向外算起，行星的順序依次是月亮、水星、金星、太陽、火星、木星、土星，再往外則是恆星。同一時期的其他印度文獻中也出現了類似的模型，許多歷史學家認為，這些模型保留了托勒密之前希臘天文學的一些元素。

《阿耶波多曆算書》把時間推算的起點，設定在西元前3102年卡利瑜伽開始之際，當時所有行星據說都排成一直線。這個與其他印度體系共用的紀元起點，為計算行星位置提供了一個固定的出發點。

阿耶波多開創了後世所稱的「阿耶學派」（Āryapakṣa），是印度天文學的主要傳統之一。大約一個世紀後撰寫詳細注釋的婆什迦羅一世，在629年的著作中盛讚他是抵達數學、運動學與球面學這片汪洋彼岸的宗師。628年撰述的婆羅摩笈多雖然對他的許多觀點提出批評，卻對這些觀點多有論及，這正顯示出他影響力之深遠。

《阿耶波多曆算書》在南印度尤其重要。在喀拉拉，天文學家和數學家寫下了一連串的注釋，最終集其大成於約1500年撰寫注釋的尼拉坎塔·索瑪亞吉。以研究無窮級數聞名的喀拉拉學派，自視為延續著阿耶波多的傳統。

印度各地製作曆書的人，都採用阿耶波多傳統中的計算方法來編製傳統曆本「潘昌加」（pañcāṅga）。他以音節表示數字的系統，也在南印度的天文著作中被廣泛仿效。

後世另有一位天文學家，被稱為「阿耶波多二世」，約在十世紀寫成一部名為《大悉檀多》（Mahāsiddhānta）的著作，不應與《阿耶波多曆算書》的作者相混淆。

印度的天文著作在八世紀時傳往西方，當時巴格達阿拔斯王朝宮廷的學者把梵文文獻譯成阿拉伯文。透過這些譯本，印度的正弦值表和計算行星位置的方法傳入伊斯蘭天文學，後來又輾轉傳到歐洲。阿耶波多本人的想法究竟經由何種確切途徑流傳，並非總是十分清楚，阿拉伯文獻常常只泛稱印度天文學，而不特別點出他的名字。

十一世紀撰寫了一部關於印度的知名著作的比魯尼，知道阿耶波多及其追隨者的存在，並討論了他們認為地球會自轉的觀點。「sine」這個詞從梵文的「jyā」經阿拉伯文一路演變到拉丁文「sinus」的歷史，正是這一連串知識傳遞留下的一個雖小卻鮮明的痕跡。

在現代印度，阿耶波多已成為科學成就的國家象徵。由印度太空研究組織打造、於1975年4月19日搭乘蘇聯火箭發射升空的印度第一顆人造衛星，就以「阿耶波多」為名。這顆衛星的圖像還印在印度二盧比紙鈔的背面。月球上的一座撞擊坑、奈尼塔爾附近一所觀測科學研究機構，以及巴特那的一所大學，也都以他的名字命名。

在通俗的敘述中，阿耶波多常被描述成零的發明者，或是搶先預見了哥白尼日心說的人物。正如後面的進階段落所說明的，這兩種說法都超出了現有證據所能支持的範圍。

阿耶波多知道零嗎？《阿耶波多曆算書》並沒有使用表示零的符號，書中的數字都是以音節寫成的。然而，他求平方根和立方根的方法，是在一套十進位位值制系統中逐位進行運算的，而他的數字系統把音節分配給十的各次冪，其中有些位置的係數可能就是空的。喬治·伊夫拉等學者因此主張，作為佔位符的零的概念，其實已經隱含其中。大多數歷史學家都同意，十進位位值制的算術當時已在使用；至於零何時成為一個擁有自身運算規則的明確數字，通常被追溯到628年的婆羅摩笈多。

他知道π是無理數嗎？「āsanna」（趨近）這個詞，既可以理解成他只是單純承認3.1416是個近似值，也可以更大膽地理解成他已經洞察到並不存在確切的分數值。π是無理數這件事，直到1761年才由約翰·海因里希·蘭伯特在歐洲證明。由於阿耶波多沒有留下任何論證，大多數歷史學家認為，較強的那種解讀雖然可能成立，卻並未獲得證實。麥克圖特數學史檔案（MacTutor）也指出，在實際計算中，阿耶波多的傳統其實常常使用√10，而非3.1416。

他的體系是否暗藏著日心說？歷史學家范德瓦爾登主張，阿耶波多行星模型中的某些特徵——尤其是與太陽平均運動相關聯的希格拉本輪所扮演的角色——透露出一種可能承襲自失傳希臘資料的潛在日心說理論。諾埃爾·斯沃德洛等學者則強烈反對這種解讀，指出文本明確採用地心說，而類似的修正在非日心說的體系中也同樣會出現。目前普遍的共識是，阿耶波多提出的是一個會自轉的地球，而非一個繞著太陽公轉的地球。

他的各項參數究竟從何而來？像大衛·平格里這樣的學者，把印度數理天文學的許多元素，追溯到經印度改造過的巴比倫和希臘化時代資料；也有其他學者更強調印度自身獨立的發展。阿耶波多的體系與更早的《派塔瑪哈悉檀多》和《蘇利耶悉檀多》傳統之間的關係，至今仍是一個活躍的研究課題。

《阿耶波多曆算書》以眾多手抄本的形式流傳至今，大多來自南印度，而且通常都附有注釋。由於詩句極為精煉濃縮，這些注釋對於理解原文而言不可或缺。婆什迦羅一世寫於629年的注釋，是現存最早、也最詳盡的一部；喀拉拉後世的注釋，包括帕拉梅什瓦拉和尼拉坎塔·索瑪亞吉的作品，則顯示出這部文本後來如何被使用，有時甚至被重新詮釋。

對這部文本的現代學術研究始於十九世紀。荷蘭學者亨德里克·克恩於1874年在萊頓出版了梵文原文，並附上帕拉梅什瓦拉的注釋。沃爾特·尤金·克拉克的英譯本則出版於1930年。目前公認的標準校訂本，附有翻譯與注解，是K. S. 舒克拉與K. V. 薩爾馬於1976年由印度國家科學院出版的版本，他們同時也校訂了婆什迦羅一世的注釋。

有關他生平的證據十分稀少，且部分帶有傳說色彩。除了那句透露他年齡的詩句之外，我們只能依靠一個多世紀甚至更晚之後的注釋家，以及各自帶有立場的地方傳統：喀拉拉、比哈爾和德干都各有支持者。因此，歷史學家會刻意區分文本本身所說的內容，與後世附加上去的種種說法。

那套已經佚失的子夜體系，是根據後世著作重建而來的，尤其是瓦拉哈米希拉的《五大曆算書》（Pañcasiddhāntikā），以及沿用阿耶波多子夜推算法的婆羅摩笈多《坎達卡迪耶卡》（Khaṇḍakhādyaka）。另外還有一部以阿拉伯文保存、聲稱是阿耶波多著作譯本的文獻也曾被討論過，但它與阿耶波多之間的關聯尚不確定。