歐幾里得

歐幾里得是古希臘數學家,常被稱為「幾何學之父」。他生活並任教於亞歷山卓,這座城市由亞歷山大大帝建立,由講希臘語的托勒密王朝統治。他的年代通常定於西元前300年左右。

他最著名的,莫過於一部著作:《幾何原本》。他將前幾個世紀希臘數學家發展出的幾何學與算術知識加以蒐集,編排成一條環環相扣的邏輯鏈,其中每一項結果都由先前的結果證明而來。書中許多定理其實是由他人發現的,但正是這種編排方式、大量的證明,以及整體的設計,使這部書在兩千多年間成為數學的標準教科書。

歐幾里得與阿基米德、佩爾格的阿波羅尼奧斯並列,通常被視為古代最偉大的數學家之一。今天所說的「歐幾里得幾何」,指的就是大多數人在學校學到的、平坦空間的一般幾何學。

關於歐幾里得的生平,幾乎沒有一件事是確定的。同時代沒有任何作者描述過他,也沒有留下生前的畫像;後世藝術作品中歐幾里得的形象都是想像出來的。有關他的說法大多來自六、七百年後的兩位學者:4世紀初的亞歷山卓的帕普斯,以及5世紀的普羅克洛。

普羅克洛說歐幾里得生活在柏拉圖弟子之後、阿基米德之前,正值第一位托勒密王在位的時代,這大致將他定在西元前300年左右。帕普斯提到,後來的數學家阿波羅尼奧斯曾在亞歷山卓向歐幾里得的學生學習,這暗示歐幾里得在當地創辦了一個數學學派。人們常常推測他曾在雅典跟隨柏拉圖的追隨者學習,因為他的著作建立在柏拉圖學派的幾何學基礎之上,但這終究只是推測。

關於他有兩則著名的故事流傳下來。其中一則說,托勒密王詢問學習幾何有沒有捷徑,歐幾里得回答:「通往幾何學沒有王者之路。」另一則說,有個學生問學幾何能得到什麼好處,歐幾里得便叫僕人給他一枚錢幣,「因為他一定要從所學之中獲得利益」。這兩則故事都是幾百年後才被寫下來的,而且第一則故事幾乎一模一樣的版本,也曾被用來講述另一位數學家與亞歷山大大帝之間的事,因此歷史學家普遍將它們視為傳說。

亞歷山卓建立於西元前331年。亞歷山大死後,他的將領托勒密掌控了埃及,自西元前306年左右起,他的統治在亞歷山大諸繼承者彼此征戰的亂世中帶來了難得的穩定。托勒密王朝興建了許多重要機構,包括「繆斯宮」(意為「繆斯女神的聖所」)這座研究與教學中心,以及著名的圖書館。

來自希臘世界各地的學者都被吸引到亞歷山卓。人們常把歐幾里得想像成繆斯宮最早期的學者之一,雖然沒有任何古代資料直接這麼說。可以確定的是,亞歷山卓在其後數百年間成為希臘數學與科學的重鎮,後來的埃拉托斯特尼、希羅、天文學家托勒密、帕普斯與西翁等人都曾在此活動。

歐幾里得因此站在一個交會點上:他繼承了柏拉圖與亞里斯多德那一代人在雅典發展出的數學,而他的著作又成為後續亞歷山卓學術傳統的基礎。

《幾何原本》(希臘文 Stoicheia)分為十三「卷」,性質更接近今日的長篇章節。第一卷到第六卷討論平面幾何:三角形、平行線、面積、圓、正多邊形與相似圖形。第五卷提出一套一般性的比與比例理論,可能是根據尼多斯的歐多克索斯的成果而來。

第七卷到第九卷討論整數:整除性、質數,以及成連比例的數。第十卷是全書最長也最艱深的部分,它為不可通約(以現代術語來說即無理)的長度進行分類。第十一卷到第十三卷轉向立體幾何,最後以五種正多面體(正六面體、正四面體、正八面體、正十二面體與正二十面體)的作圖作結,並證明再無其他正多面體存在。

後來許多抄本又加上了第十四、十五卷,但這兩卷是其他作者所寫,第十四卷一般歸於希普西克勒斯名下。《幾何原本》沒有前言,沒有歷史性的說明,幾乎不含任何個人色彩:全書就是一連串的定義、假設、命題與證明,每一項都配有圖形。

第一卷開頭列出23個定義,例如「點是沒有部分的東西」,以及「線是沒有寬度的長度」。接著是五條公設與五條公理(common notions)。公設允許使用直尺與圓規進行幾何學的基本作圖:在兩點之間畫一條直線、延長一條直線、以任意圓心與半徑畫一個圓;公設也指出所有直角都相等。公理則是關於量的一般性真理,例如「等於同一量的量彼此相等」,以及「整體大於部分」。

其餘的內容全是命題:不是「問題」(需要完成的作圖),就是「定理」(需要證明的陳述)。每個命題都以一般性的語言陳述,配上圖形說明,只用先前已確立的內容一步步證明,最後以固定的用語作結;拉丁文譯本後來將這句話譯為「這就是要證明的」(quod erat demonstrandum,簡稱QED)。

這種從少數明確陳述的起點出發、讓整個領域逐步生長出來的公理演繹結構,是歐幾里得留下最持久的遺產。後世哲學、物理學與數學的作者一再借用這種形式。亞里斯多德固然早已討論過第一原理與論證,歐幾里得使用的詞彙也呼應著這類討論,但《幾何原本》仍是現存最早、將這種方法大規模付諸實踐的著作。

第一卷以畢氏定理(命題47)及其逆命題(命題48)作結。這是現存最古老的畢氏定理證明,所根據的圖形有時被戲稱為「風車圖」或「新娘的椅子」。同一卷較前面的命題5(等腰三角形的兩底角相等)在中世紀歐洲被稱為「驢橋定理」(pons asinorum),意指程度較差的學生無法跨越這道難關。

第七卷一開始便介紹了如今稱為「輾轉相除法」的程序:要求兩數的最大公因數,只需反覆用較大數減去(或除以)較小數,直到餘數為零。這是至今仍在日常使用的最古老演算法之一,包括應用在電腦密碼學中。第九卷命題20證明了質數的數量多於任何給定的數目,換句話說質數永無止境,這個論證至今仍在課堂上教授。

第二卷命題11及其後的命題,構造出將一線段依「外中比」分割的方法,也就是今日所稱的黃金比例,用來建構正五邊形、正十二面體與正二十面體。第十二卷運用窮盡法——積分學的先驅方法——證明例如圓錐的體積是與其同底同高的圓柱體積的三分之一。

歐幾里得的著作遠不止《幾何原本》。《資料》說明當一個圖形的某些元素「已知」時,可以推導出什麼結論,是一種解題指南。《光學》是現存最早的希臘透視學論著:它把視覺視為由眼睛以錐形向外發散的直線(視線),並證明了例如為何較遠的物體看起來較小。《現象》則把球面幾何應用於天文學,描述從地球觀察到的天體運動。

《圖形分割》只以阿拉伯文譯本部分留存,內容討論如何依給定比例將圖形切割成若干部分。討論鏡子的《反射光學》雖歸於他名下,但許多學者對此存疑。

另有數部著作已經佚失,僅能透過後世的記載得知:四卷本的《圓錐曲線論》,後來被阿波羅尼奧斯的著作取代;《推論集》,收錄約兩百則特殊類型的命題;《謬論集》,是一部幫助初學者避免犯錯的幾何謬誤集;以及《曲面軌跡》。

《幾何原本》最古老的證據,是來自埃及象島、屬於西元前3世紀的六片陶片(刻字的陶器碎片),內容涉及第十三卷的命題。現存最早載有其文本的紙莎草文獻是俄克喜林庫斯紙莎草文獻第29號,年代約在西元75年至125年之間。4世紀時,亞歷山卓的西翁編訂了一個版本,成為後來幾乎所有希臘文抄本的依據。

約在西元800年,哈里發哈倫·拉希德在位期間,哈賈吉·伊本·優素福·伊本·馬塔爾將《幾何原本》譯成阿拉伯文;後來伊斯哈格·伊本·胡奈因的譯本又經塔比特·伊本·庫拉修訂。伊斯蘭世界的數學家研讀、注釋並擴充了這部著作,其中也包括嘗試證明平行公設。約在1120年,英國修士巴斯的阿德拉德將其從阿拉伯文譯為拉丁文,而諾瓦拉的坎帕努斯在13世紀完成的拉丁文版本,後來成為西方世界的標準版本。

第一個印刷版本由埃哈德·拉特多爾特於1482年在威尼斯出版,是最早的數學印刷書籍之一;此後又出現了超過一千種版本。第一個英文譯本由亨利·比林斯利翻譯、約翰·迪伊作序,於1570年問世。1607年,耶穌會士利瑪竇與學者徐光啟出版了前六卷的中文譯本《幾何原本》,將歐幾里得幾何介紹到東亞,「幾何」一詞也因此成為這門學科在中文裡的名稱。

歐幾里得的第五公設實質上是說:如果一條直線與另外兩條直線相交,使得其中一側的內角和小於兩個直角,那麼這兩條直線只要延伸得夠遠,就會在那一側相交。這等同於說,過直線外一點,恰好只有一條直線與該直線平行。相較於其他公設,第五公設既冗長又不那麼不證自明,因此歐幾里得一直避免使用它,直到第一卷命題29才不得不用上。

在其後兩千年間,包括托勒密、普羅克洛、伊本·海什木、奧瑪·海亞姆、納西爾丁·圖西,以及後來的歐洲人如薩凱里,都曾試圖用另外四條公設證明第五公設。所有嘗試都失敗了,但這些努力也發掘出許多與之等價的命題。

19世紀初,尼古拉·羅巴切夫斯基(1829年發表)、鮑耶·亞諾什,以及未公開發表成果的卡爾·弗里德里希·高斯,各自證明了可以建構出一套自洽的幾何學,在其中第五公設不成立。之後,伯恩哈德·黎曼又發展出其他種類的彎曲幾何。這些非歐幾里得幾何證明了第五公設獨立於其他公設,而它們後來更成為愛因斯坦廣義相對論所使用的數學語言。諷刺的是,歐幾里得當初選擇把這條公設作為一項假設提出,而不是假裝能夠證明它,如今反而被視為他邏輯洞察力的一項證明。

《幾何原本》常被形容為史上最成功的教科書,也是繼《聖經》之後,歷史上被翻譯、出版與研讀次數最多的書籍之一。在歐洲,它一直是數學教育的核心,直到20世紀為止;「研讀歐幾里得」這句話,意思就等於「學習幾何學」。

它的影響遠遠超出數學領域。仰慕其確定性的思想家,試圖以「幾何學的方式」呈現哲學、倫理學與物理學:史賓諾莎的《倫理學》就是以定義、公理與命題的形式寫成,牛頓的《自然哲學的數學原理》也依循類似的模式。印刷版本也啟發了皮耶羅·德拉·法蘭切斯卡等文藝復興時期的藝術家,而奧利佛·拜恩1847年出版的版本,則以彩色圖形取代文字符號,幫助學習者理解。

歐幾里得的名字至今仍留存在「歐幾里得幾何」「輾轉相除法」「關於質數的歐幾里得定理」、一座月球隕石坑,以及歐洲太空總署於2023年發射、用以繪製暗宇宙幾何結構的「歐幾里得太空望遠鏡」之中。

關於歐幾里得最早且確鑿的記載,見於阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》第一卷的序言(西元前2世紀初),文中批評歐幾里得處理三線與四線軌跡問題的方式。阿基米德與阿波羅尼奧斯都將《幾何原本》的命題視為理所當然,顯示這部著作在西元前3世紀便已流傳,儘管阿基米德所用的比例理論比第五卷還要古老。普羅克洛用來推斷歐幾里得年代的依據——阿基米德《論球與圓柱》中唯一一次提及歐幾里得——曾被約翰內斯·耶爾姆斯列夫論證為後人插入的內容。在年代確定的著作中,明確引用《幾何原本》要到西元2世紀的蓋倫與阿芙羅狄西亞的亞歷山大才出現。

後世的傳說更增添了混淆。羅馬編纂家瓦勒里烏斯·馬克西穆斯把歐幾里得的名字放進一則關於柏拉圖與倍立方問題的故事裡,而中世紀的拜占庭與拉丁作者則把這位數學家與早了一個世紀、蘇格拉底的弟子——哲學家梅加拉的歐幾里得混為一談;1482年印刷版的《幾何原本》甚至稱他為「梅加拉人」。文藝復興時期的學者,尤其是彼得·拉繆斯,揭穿了這項錯誤。中世紀的阿拉伯文獻則替他安上了一位名叫瑙克拉特斯的父親,以及提爾這個出生地,但歷史學家認為這些細節都是後人杜撰的。

由於證據十分稀薄,歷史學家讓·伊塔爾提出了三種假說:歐幾里得是單一的歷史人物;他在亞歷山卓帶領一個團隊,團隊成員參與撰寫著作,並持續以他的名義發表;或者「歐幾里得」其實是一個集體使用的筆名,就像20世紀一群數學家共用「尼古拉·布爾巴基」這個筆名一樣。大多數歷史學家接受第一種說法,同時也承認歐幾里得大量借鑑了前人的成果,而他所創立的學派也可能參與塑造了這些文本;各卷之間文體上的差異,也可以用他所依據的資料來源不同來解釋。

我們今天讀到的《幾何原本》其實是一項重建的成果。數百年來,所有希臘文抄本都源自西翁在4世紀編訂的版本。1808年,弗朗索瓦·佩拉爾在梵蒂岡圖書館中發現了一份不屬於西翁系統的抄本(Vat. gr. 190,抄寫於10世紀);J. L. 海伯格的校勘本(1883–1888年)將這份抄本視為最可靠的證據,並以其他抄本加以校正,托馬斯·希思的英譯本(1908年)也依循海伯格的版本。阿拉伯文譯本缺少兩個希臘文系統中都有的許多說明性附加內容,這引發了學界的爭論:這些譯本究竟是保留了更早、更精簡的文本,還是另有原因,至今仍無定論。

文本詮釋本身也存在問題。認為第二卷包含「幾何式代數」——也就是以幾何形式包裝的代數恆等式——這種觀點,在20世紀初曾是主流看法;但自1970年代起,薩貝泰·翁古魯等歷史學家批評這種說法犯了時代錯置的毛病,主張希臘人的量、比與數必須以他們自己的方式來理解。同樣的警惕也適用於將第五卷讀成一套實數理論,或把第十卷讀成現代意義下的無理數論著。

最後,《幾何原本》在邏輯上並非毫無破綻。歐幾里得經常依賴圖形所「顯示」的內容——例如第一卷命題1中畫出的兩個圓確實相交——或依賴一些關於順序與「介於之間」等未曾明言的假設。19世紀晚期,莫里茨·帕施指出了這類漏洞,大衛·希爾伯特在《幾何基礎》(1899年)中提出了一套完整的公理系統;阿爾弗雷德·塔斯基後來又提出另一套系統,而2017年麥可·畢森等人則利用電腦證明輔助工具,依照一套類似歐幾里得的公理系統驗證了第一卷的命題。近來也有一些學者主張,歐幾里得依賴圖形的推理方式其實遵循著自己一套前後一致的規則,而不僅僅是一種疏漏。