花拉子米

穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米，是一位在九世紀上半葉於巴格達工作的數學家、天文學家與地理學家。當時的巴格達，是阿拔斯哈里發帝國的首都，這個帝國的疆域從北非一路延伸到中亞，是當時世界上最大、最富庶的城市之一。他的名字告訴我們三件事：他本人名叫穆罕默德，他的父親名叫穆薩，而他本人或他的家族，則來自花拉子模——鹹海以南、阿姆河下游一帶肥沃的地區。

他以四部著作聞名於世。第一部說明了如何求解方程，並為「代數」這門學科命了名。第二部教人如何用包含零在內的印度十進位數字進行計算；這本書拉丁文版的標題以他的名字開頭，也因此為我們留下了「演算法」（algorithm）這個詞。第三部是一套用於預測太陽、月亮與行星位置的天文表。第四部則是一部地理著作，列出了兩千多個地點的經緯度。

這些著作，沒有一本是專門寫給專家看的。花拉子米自己說，他撰寫代數這本書，是為了說明計算中「最簡單、最實用」的部分，也就是人們在處理遺產、饋贈、財產分配、訴訟與貿易時所需要用到的知識。正是這種務實而清晰的寫作風格，讓他的著作歷經數百年，一再被抄寫、研讀與翻譯。

巴格達由阿拔斯哈里發曼蘇爾於西元762年建立，是一座位於底格里斯河畔、規劃成圓形的新都城。來自阿拉伯、波斯、中亞、印度，以及古希臘語地區的商人、學者與官員，紛紛匯聚於此。當時剛剛傳入伊斯蘭世界不久的紙張，也讓製作書籍的成本，比以往任何時候都更為低廉。

阿拔斯的統治者，出資把希臘文、敘利亞文、波斯文與梵文的科學及哲學著作翻譯成阿拉伯文。大約在770年代初期，一部印度天文學著作被帶到曼蘇爾的宮廷，並被譯成阿拉伯文。在對科學抱有濃厚個人興趣的哈里發馬蒙（813年至833年在位）治下，翻譯與研究工作獲得了大規模的資助。阿拉伯文由此成為從西班牙到中亞，科學界共通的語言。

傳統上，花拉子米被認為與巴格達的「智慧宮」——一座宮廷圖書館兼學術中心——有所關聯。後世的記載說，他曾在那裡擔任天文學家，甚至一度掌管其圖書館。他把自己的代數著作與天文表，都獻給了馬蒙，這也顯示出他與哈里發宮廷關係密切。

關於花拉子米的生平，能夠確定的內容其實非常少。並沒有任何一位認識他的人，為他留下過傳記。我們主要的資訊來源，是十世紀末巴格達書商伊本·納迪姆所編纂的阿拉伯書目《費赫里斯特》中的一則簡短條目、史學家塔巴里的幾處記載，以及他自己著作的序言。

他的出生年份，一般定為約780年，去世年份則定為約850年，但這些都只是推估。他大部分可考的著作，完成於馬蒙在位的813年至833年間。有一則記載提到，在後來的哈里發瓦西克（在位842年至847年）治下，他曾參與一次出使高加索以北可薩人的使團，但這一說法並不確定。

他以阿拉伯文寫作，但出身波斯或花拉子模背景。他代數著作的序言，一開頭便以伊斯蘭方式讚頌真主與先知，這顯示他把自己塑造成一位穆斯林學者。除了這些要點之外，人們有時談到的許多內容——他的老師、家庭、日常工作——其實都缺乏早期史料的支持。

他最著名的著作，是《還原與對消計算概要》（al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābala），大約於820年在馬蒙的鼓勵下，於巴格達寫成。這是現存最早一部把求解方程本身，當作獨立學科加以系統討論、而非僅僅羅列個別題目的著作。

花拉子米處理三種量：「數」（相當於我們今天所說的常數）、「根」（未知數，也稱為shayʾ，意為「東西」），以及「平方」（未知數自乘的結果）。他證明了，任何只涉及正數的一次或二次方程問題，都可以化簡為六種標準類型之一：平方等於根；平方等於數；根等於數；平方與根等於數；平方與數等於根；根與數等於平方。針對每一種類型，他都給出了求解的法則。

有兩種運算，可以把一個問題化為標準形式。「還原」（al-jabr），是把方程中被減去的一項，透過加到等號兩邊來消除：以現代符號表示，x² = 40x − 4x²會變成5x² = 40x。「對消」（al-muqābala），則是把等號兩邊相同的項相互抵消：x² + 14 = x + 5會變成x² + 9 = x。這兩個詞當中的第一個，後來被帶入拉丁文成為「algebra」，也就成了這整門學科的名稱。

值得注意的是，花拉子米完全沒有使用符號。所有的內容，包括數字在內，都是用文字寫出來的。他著名的例子問道：有一個數，它的平方加上這個數的十倍，等於三十九，這個數是多少？他透過「配方」的方法解出了答案。接著，他用一個幾何圖形來證明這個法則：一個正方形周圍環繞著幾個長方形，再加上幾個小小的角落正方形，直到拼成一個更大的正方形為止。答案「三」，便可以直接從這幅圖中讀出來。

全書接下來，還包含了乘法與代數式運算的法則、一段討論面積與體積測量的內容（其中給出了三個圓周率的近似值，包括3又7分之1以及3.1416），以及佔全書篇幅將近一半的最後一大部分，內容是把算術與簡單的方程，應用於伊斯蘭繼承法——這套法律規定了如何把一份遺產，依固定比例分配給眾多繼承人。

花拉子米還寫過一部論著，大約成書於825年，說明如何運用九個印度數字，加上一個表示零的符號，在一套位值系統中進行計算——這套系統，我們如今稱之為「印度—阿拉伯數字」。書中涵蓋了數字的書寫、加法、減法、倍增、減半、乘法與除法，看來似乎也包含了開平方的方法。當時的計算，是在一塊稱為「沙盤」（takht）的板子上進行——這是一種鋪滿細沙的托盤，數字可以寫在上面，並能迅速抹去重寫。

這部著作的阿拉伯文原本已經失傳。如今留存下來的，是十二世紀的幾種拉丁文改編版本，沒有一種是逐字直譯。其中最為人所知的一種，開頭寫著「Dixit Algorizmi」——意為「花拉子米說」——這份手稿目前僅存一份，藏於劍橋，並於1857年以《印度數字算法》（Algoritmi de numero Indorum）為題出版。另外還有幾部拉丁文著作，例如《花拉子米算術入門》與《花拉子米實用算術》，同樣發展了他的方法。

在拉丁文中，花拉子米的名字被轉寫成Algorismus或Algoritmi。「Algorism」一詞後來用來指稱這種以書寫數字進行計算的新方法，以區別於較古老的算盤運算方式；這個英文詞彙，早在十三世紀初就已經出現。後來，受到希臘文arithmos（「數」）的影響，這個詞又被改寫為algorithmus，而英文的「algorithm」一詞，最遲在十六世紀末便已見於文獻記載。今天，這個詞泛指任何精確、逐步進行的程序，尤其是由電腦所執行的程序。

西班牙文的guarismo與葡萄牙文的algarismo，兩者都意為「數字」，同樣源自他的名字。就這樣，一位學者的名字，從中亞一路傳到巴格達，又從巴格達傳到西班牙與拉丁語系的歐洲，最終進入了現代電腦科學的詞彙之中。

「zīj」是一種天文手冊：一套附有計算說明的表格，用來計算太陽、月亮與行星的位置、日月食發生的時間、新月能否被觀測到，以及曆法上的日期。花拉子米的《信德欣德天文表》，是這類阿拉伯著作中最早的一部。根據留存下來的描述，全書共約37章、116個表格，其中包括一個正弦函數表。

「信德欣德」（Sindhind）這個名稱，源自梵文詞彙siddhānta，意指一部天文學論著。他表中行星的平均運動數值，源自印度天文學，尤其是婆羅摩笈多的《婆羅摩曆算書》，這部著作早在數十年前，就已在阿拔斯宮廷中被翻譯出來。他也運用了波斯的資料，以及部分托勒密體系的內容。這種融合，正說明了巴格達的學者，如何把原本各自獨立發展的學術傳統結合在一起。

阿拉伯文原本已經失傳。如今留存下來的，是安達魯斯天文學家馬斯拉瑪·馬吉里提大約於1000年所做的修訂版，這個版本在十二世紀被譯成拉丁文，譯者很可能是巴斯的阿德拉德（這份譯本的年代，一般定為1126年）。目前已知有四份拉丁文版的抄本存世。花拉子米還寫過關於星盤與日晷、如何測定麥加方向，以及猶太曆及其十九年週期的著作。

花拉子米的《大地形象之書》（Kitāb ṣūrat al-arḍ），完成於833年，是對二世紀克勞狄烏斯·托勒密《地理學》的一次徹底重新整理。全書在簡短的引言之後，列出了2,402個地點——城市、山脈、海洋、島嶼與河流——的座標，依氣候帶（緯度帶）排列，每個氣候帶內再依經度排序。

他並非單純照抄托勒密的內容。他修正了托勒密對地中海長度的嚴重高估——從約63度經度，修正為接近50度——並把大西洋與印度洋，呈現為開放的海域，而非封閉的內海。他關於伊斯蘭世界、非洲與亞洲的資料，整體上優於托勒密，而在歐洲部分，他則更依賴較古老的資料。

這部著作如今僅存一份阿拉伯文手稿，目前收藏於史特拉斯堡，且其中並不包含世界地圖。二十世紀時，學者胡伯特·道尼希特把書中的座標，一一標繪在方格紙上，重建出這幅已經失傳的地圖，原本應該呈現的海岸線、河流與城鎮輪廓。據記載，花拉子米也曾參與馬蒙測量地球，以及繪製世界地圖的相關計畫。

在伊斯蘭世界，花拉子米的代數學開創了一個悠久的傳統。後來的數學家，例如埃及的阿布·卡米勒，以同樣的書名寫下了自己的著作，進一步擴展了他的方法；數個世紀之後，奧瑪·開儼也在一部同屬這個傳統脈絡的論著中，以幾何方法求解三次方程。他所訂定的本初子午線與座標系統，也被後世許多穆斯林地理學家所沿用。

十二世紀時，西班牙及其他地區的學者，把阿拉伯的科學著作翻譯成拉丁文。切斯特的羅伯特於1145年在塞哥維亞翻譯了這部代數著作，克雷莫納的傑拉德也完成了另一個譯本。這部代數學著作，一直到十六世紀，都是歐洲各大學主要的數學教科書之一。他的算術著作，把印度—阿拉伯數字傳播到了歐洲；後世的作者，包括比薩的李奧納多（費波那契），都在這個傳統的基礎上，做出了進一步的發展。

1831年，弗雷德里克·羅森根據牛津所藏、獨一無二的阿拉伯文手稿，出版了這部代數著作的第一個英文譯本。月球背面的一座隕石坑，以及兩顆小行星，都以花拉子米的名字命名，如今在伊朗、烏茲別克與整個阿拉伯世界，人們仍以各種方式紀念著他。

塔巴里的編年史，給出的全名是穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米·麥朱西·古特魯布利。科學史家G. J. 圖默認為，「麥朱西」（意為「祆教徒」，即瑣羅亞斯德教徒）一詞，暗示了他祖先信奉祆教的可能性，而「古特魯布利」則指向巴格達附近的古特魯布勒地區。由於代數著作的序言，展現出虔誠的穆斯林色彩，圖默因此推測，這些稱號描述的可能是他的祖先，或是他本人的年少時期。

羅什迪·拉希德則反對這樣的解讀。他主張，這段文字原本指的是兩個不同的人——「花拉子米」與「麥朱西·古特魯布利」——而阿拉伯文中的連接詞「wa」（意為「和」），在早期的抄寫過程中不慎遺漏了。依這種觀點，這些稱號其實與花拉子米本人毫無關係。另有學者，例如大衛·A·金恩，則接受了他與古特魯布勒地區之間的關聯。這場爭論顯示，關於他生平的許多內容，其實高度仰賴人們如何解讀單一一份手稿傳承下來的文字。

另有一種說法，由D. M. 鄧洛普提出，主張花拉子米可能就是穆罕默德·伊本·穆薩·伊本·沙基爾，也就是巴格達另一組著名科學家「穆薩兄弟」中的長兄。這種說法並未獲得廣泛的認同。較為穩妥的說法是：我們手上只有少數幾則較晚的記載，以及作者本人著作的序言，而通俗的敘述，往往習慣用想像來填補其中的空白。

歷史學家對於花拉子米代數學的資料來源與原創性，存在著相當尖銳的分歧。早在兩千年前，巴比倫的書吏就已經能解出二次方程問題；亞歷山卓的丟番圖寫過《算術》；印度數學家婆羅摩笈多等人，也有求解二次方程的法則，並運用了負數與簡化的符號系統。相較之下，花拉子米則完全用文字書寫，並避免使用負數。

包括圖默與拉希德在內的一些學者認為，那些幾何證明顯示，他熟悉歐幾里得《幾何原本》，尤其是第二卷——這卷書正是由他在巴格達的同事哈賈吉所翻譯的。所羅門·甘茲則持相反看法：他指出，這部代數著作沒有定義、公理，也沒有歐幾里得式的證明格式，其幾何內容更接近於實用的測量方法。甘茲與後來的凱倫·帕爾夏爾，都指出這部書與希伯來幾何文獻《米什納特·哈米多特》之間存在相似之處，儘管那部文獻本身的年代，也仍有爭議。

學界對他成就的評價，可說相當分歧。甘茲稱他比丟番圖更配得上「代數學之父」的稱號，因為他是「以一種初階的形式、並為了代數本身」而教授代數。拉希德則強調，把方程本身當作研究對象、並加以窮盡式分類，這件事本身就具有創新意義。卡爾·波耶指出，相較於丟番圖或婆羅摩笈多，他的著作更為基礎、也更偏向「文字敘述式」，但在精神上卻更接近現代的初等代數。相對地，圖默則認為，他的數學本身其實相當有限，儘管他也承認其影響力極為深遠。

要理解這場爭論，一個有用的方式，是把「技巧」與「組織架構」分開來看。在他之前，許多個別的技巧其實早已存在；真正新穎的，是一套有系統、可供教學的框架——標準形式、通用運算方法與證明——並以一種後來成為國際科學共通語言的文字表達出來。正是這套框架所帶來的影響力，而非任何單一的發現，才是他在數學史上佔有一席之地的真正原因。

花拉子米的著作，留存的情況極不平均。代數著作有阿拉伯文版本存世，是羅森所使用、目前僅存於牛津的一份孤本，此外還有中世紀的拉丁文版本（其中一份拉丁文抄本藏於劍橋）。算術著作則只存有幾種偏離已佚失原本的拉丁文改編版，因此要重建他本人原本寫下的內容，必須比對好幾種拉丁文文本。天文表則僅透過馬吉里提修訂的拉丁文版本流傳下來。地理著作僅存一份阿拉伯文手稿，藏於史特拉斯堡。另有幾部關於日晷、星盤與朝拜方向的短篇著作，分別保存於柏林、伊斯坦堡、塔什干、開羅與巴黎的手稿之中，其中部分的作者歸屬，仍不十分確定。

他的《歷史之書》（Kitāb al-taʾrīkh），一部編年史著作，如今已經失傳，但十一世紀時，敘利亞教會的尼西比斯主教以利亞曾引用過這部書。這提醒我們，他的同時代人，不只把他視為一位數學家，也把他當作一位史學家與曆法學者。

「智慧宮」所扮演的角色，同樣需要謹慎看待。十九與二十世紀的作者，常把它描述成一座設有各研究部門的宏大學院或大學。近年來，一些歷史學家則主張，早期史料所描述的，其實是一個較為樸實的機構——一座宮廷圖書館，以及學者們工作的場所——後世那種更為宏大的描繪，其實是後來投射上去的想像。花拉子米與哈里發宮廷之間的關係，從他著作的獻詞中可以清楚看出；但更精確的機構性質，仍不十分明朗。