Al-Khwarizmi

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi foi um matemático, astrônomo e geógrafo que trabalhou em Bagdá na primeira metade do século IX. Bagdá era então a capital do Califado Abássida, um império que se estendia do Norte da África à Ásia Central, e uma das maiores e mais ricas cidades do mundo. Seu nome nos diz três coisas: seu próprio nome era Muhammad, seu pai era Musa, e ele ou sua família vinham de Khwarazm, uma região fértil no baixo curso do rio Amu Darya, ao sul do mar de Aral.

Ele é famoso por quatro livros. O primeiro explicava como resolver equações e deu seu nome à álgebra. O segundo ensinava a calcular com os algarismos decimais indianos, incluindo o zero; seu título em latim começava com seu nome e nos deu a palavra algoritmo. O terceiro era um conjunto de tábuas astronômicas para prever as posições do Sol, da Lua e dos planetas. O quarto era uma geografia listando latitude e longitude de mais de dois mil lugares.

Nenhum desses livros foi escrito apenas para especialistas. Al-Khwarizmi disse que escreveu sua álgebra para explicar o que era "mais fácil e útil" no cálculo, o tipo de coisa que as pessoas precisavam para heranças, legados, divisão de propriedades, processos judiciais e comércio. Esse estilo prático e claro é uma das razões pelas quais seus livros foram copiados, estudados e traduzidos por séculos.

Bagdá foi fundada em 762 pelo califa abássida al-Mansur como uma nova capital redonda no rio Tigre. Comerciantes, estudiosos e funcionários vinham para lá da Arábia, da Pérsia, da Ásia Central, da Índia e das antigas terras de fala grega. O papel, que havia se espalhado recentemente pelo mundo islâmico, tornou os livros mais baratos de produzir do que nunca.

Os governantes abássidas pagavam pela tradução de obras científicas e filosóficas do grego, do siríaco, do persa e do sânscrito para o árabe. Por volta do início da década de 770, um texto astronômico indiano foi trazido à corte de al-Mansur e traduzido. Sob o califa al-Ma'mun (813–833), que tinha forte interesse pessoal pela ciência, a tradução e a pesquisa foram apoiadas em grande escala. O árabe se tornou a língua comum da ciência, da Espanha à Ásia Central.

Al-Khwarizmi é tradicionalmente associado à Bayt al-Ḥikma, a "Casa da Sabedoria", uma biblioteca palaciana e centro de saber em Bagdá. Relatos posteriores dizem que ele foi astrônomo lá e até que dirigiu sua biblioteca. Ele dedicou tanto sua álgebra quanto suas tábuas astronômicas a al-Ma'mun, o que mostra que trabalhava próximo à corte do califa.

Muito pouco se sabe com certeza sobre a vida de al-Khwarizmi. Não sobrevive nenhuma biografia escrita por alguém que o conheceu. Nossa principal informação vem de uma breve entrada no Fihrist, um catálogo de livros árabes compilado pelo livreiro de Bagdá Ibn al-Nadim no fim do século X, de algumas menções do historiador al-Tabari, e dos prefácios de seus próprios livros.

Seu ano de nascimento costuma ser dado como cerca de 780, e sua morte como cerca de 850, mas são estimativas. A maior parte de sua obra datável foi feita entre 813 e 833, o reinado de al-Ma'mun. Um relato diz que, sob um califa posterior, al-Wathiq (r. 842–847), ele participou de uma embaixada aos cazares, um povo que vivia ao norte do Cáucaso; isso é incerto.

Ele escreveu em árabe, embora tivesse origem persa ou khwarazmiana. O prefácio de sua álgebra abre com louvores islâmicos a Deus e ao Profeta, o que mostra que ele se apresentava como muçulmano. Além desses pontos, boa parte do que às vezes se diz sobre ele — seus professores, sua família, seu trabalho diário — não é sustentada por fontes antigas.

Sua obra mais famosa é al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala, "O Livro Compendioso sobre o Cálculo por Restauração e Balanceamento", escrita em Bagdá por volta de 820, com o incentivo de al-Ma'mun. É o mais antigo livro sobrevivente que trata a resolução de equações como um assunto próprio, em vez de uma coleção de problemas individuais.

Al-Khwarizmi trabalhava com três tipos de grandeza: "números" (o que chamaríamos de constantes), "raízes" (a incógnita, também chamada shayʾ, "coisa") e "quadrados" (a incógnita multiplicada por ela mesma). Ele mostrou que todo problema linear ou quadrático com quantidades positivas pode ser reduzido a um de seis tipos-padrão: quadrados igualam raízes; quadrados igualam números; raízes igualam números; quadrados e raízes igualam números; quadrados e números igualam raízes; e raízes e números igualam quadrados. Para cada tipo, ele deu uma regra para encontrar a resposta.

Duas operações trazem um problema à forma padrão. Al-jabr, "restauração", remove uma quantidade subtraída somando-a a ambos os lados: em notação moderna, x² = 40x − 4x² se torna 5x² = 40x. Al-muqābala, "balanceamento", remove a mesma quantidade de ambos os lados: x² + 14 = x + 5 se torna x² + 9 = x. A primeira dessas palavras, levada ao latim como algebra, deu nome a toda a disciplina.

É crucial notar que al-Khwarizmi não usava símbolos. Tudo, inclusive os números, é escrito por extenso. Seu exemplo famoso pede um número cujo quadrado mais dez vezes ele mesmo é igual a trinta e nove, e ele o resolve "completando o quadrado". Depois prova a regra com uma figura geométrica: um quadrado é cercado por retângulos, e pequenos quadrados de canto são acrescentados até completar um quadrado maior. A resposta, três, pode ser lida no diagrama.

O livro continua com regras para multiplicar e manipular expressões, uma seção sobre medir áreas e volumes (dando três aproximações para π, incluindo 3 1/7 e 3,1416), e uma longa parte final — cerca de metade do livro — aplicando aritmética e equações simples à lei islâmica de herança, que divide uma propriedade entre muitos herdeiros em partes fixas.

Al-Khwarizmi também escreveu um tratado, redigido por volta de 825, explicando como calcular com os nove algarismos indianos e um sinal para o zero em um sistema de valor posicional — o sistema que hoje chamamos de algarismos indo-arábicos. Cobria escrever números, adição, subtração, duplicação, divisão pela metade, multiplicação e divisão, e parece também raízes quadradas. Os cálculos eram feitos em uma tábua de pó (takht), uma bandeja coberta de areia fina na qual se podiam escrever números e apagá-los rapidamente.

O original em árabe se perdeu. O que sobrevive são adaptações latinas do século XII, nenhuma delas uma tradução literal. A mais conhecida começa com Dixit Algorizmi — "Al-Khwarizmi disse" — e é preservada em um único manuscrito em Cambridge; foi impressa em 1857 sob o título Algoritmi de numero Indorum. Outras obras latinas, como o Liber Ysagogarum Alchorismi e o Liber Alchoarismi de practica arismetice, também desenvolveram seus métodos.

Em latim, o nome de al-Khwarizmi se tornou Algorismus ou Algoritmi. "Algorismo" passou a significar a nova forma de calcular com algarismos escritos, em oposição ao antigo ábaco; a palavra inglesa aparece já no início do século XIII. Mais tarde, sob a influência do grego arithmos ("número"), foi remodelada em algorithmus, e a palavra inglesa "algorithm" é registrada no fim do século XVI. Hoje a palavra significa qualquer procedimento preciso, passo a passo, especialmente um executado por um computador.

A palavra espanhola guarismo e a portuguesa algarismo, ambas significando "dígito", também vêm de seu nome. Assim, o nome de um único estudioso viajou da Ásia Central até Bagdá, de Bagdá até a Espanha e a Europa latina, e finalmente para o vocabulário da computação moderna.

Um zīj é um manual astronômico: um conjunto de tábuas, com instruções, para calcular as posições do Sol, da Lua e dos planetas, os horários de eclipses, a visibilidade da lua nova e as datas do calendário. O Zīj al-Sindhind de al-Khwarizmi é uma das mais antigas obras árabes desse tipo. Segundo a descrição que sobrevive, tinha cerca de 37 capítulos e 116 tábuas, incluindo uma tábua de senos.

Seu nome, Sindhind, vem da palavra sânscrita siddhānta, que significa um tratado astronômico. Os movimentos médios dos planetas em suas tábuas derivam da astronomia indiana, particularmente do Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta, que havia sido traduzido na corte abássida décadas antes. Ele também usou material persa e algum material ptolomaico. Essa mistura mostra como os estudiosos de Bagdá combinavam tradições que haviam se desenvolvido separadamente.

O texto original em árabe se perdeu. Sobrevive em uma revisão feita por volta do ano 1000 pelo astrônomo andaluz Maslama al-Majriti, que foi traduzida para o latim no século XII, provavelmente por Adelardo de Bath (uma data de 1126 é associada a essa tradução). Quatro manuscritos da versão latina são conhecidos. Al-Khwarizmi também escreveu sobre o astrolábio e o relógio de sol, sobre encontrar a direção de Meca, e sobre o calendário judaico e seu ciclo de 19 anos.

O Kitāb ṣūrat al-arḍ de al-Khwarizmi, "O Livro da Imagem da Terra", foi concluído em 833. É uma reformulação completa da Geografia de Cláudio Ptolomeu, do século II. Depois de uma breve introdução, lista as coordenadas de 2.402 lugares — cidades, montanhas, mares, ilhas e rios — organizados por zonas climáticas (faixas de latitude) e, dentro de cada zona, por longitude.

Ele não simplesmente copiou Ptolomeu. Corrigiu a grande superestimativa de Ptolomeu do comprimento do mar Mediterrâneo, de cerca de 63 graus de longitude para perto de 50, e mostrou o Atlântico e o oceano Índico como águas abertas, e não como mares fechados. Seus dados para as terras islâmicas, a África e a Ásia eram geralmente melhores que os de Ptolomeu, enquanto para a Europa ele confiava mais no material mais antigo.

Apenas um manuscrito árabe da obra sobrevive, hoje em Estrasburgo, e não contém nenhum mapa-múndi. No século XX, o estudioso Hubert Daunicht marcou as coordenadas em papel milimetrado e reconstruiu os litorais, rios e cidades que o mapa perdido deveria ter mostrado. Diz-se também que al-Khwarizmi participou dos projetos de al-Ma'mun para medir a Terra e produzir um mapa-múndi.

No mundo islâmico, a álgebra de al-Khwarizmi iniciou uma longa tradição. Matemáticos posteriores, como Abu Kamil, no Egito, escreveram seus próprios livros com o mesmo título, estendendo seus métodos; séculos depois, Omar Khayyam resolveu equações cúbicas geometricamente em um tratado que também pertence a essa linhagem. Seu meridiano principal e suas coordenadas foram usados por muitos geógrafos muçulmanos posteriores.

No século XII, estudiosos na Espanha e em outros lugares traduziram a ciência árabe para o latim. Robert de Chester traduziu a álgebra em Segóvia em 1145, e Gerardo de Cremona fez outra versão. A álgebra continuou sendo um livro-texto matemático principal nas universidades europeias até o século XVI. Os textos de aritmética espalharam os algarismos indo-arábicos pela Europa; escritores posteriores, incluindo Leonardo de Pisa (Fibonacci), construíram sobre essa tradição.

Em 1831, Frederic Rosen publicou a primeira tradução em inglês da álgebra, baseada no único manuscrito árabe guardado em Oxford. Uma cratera no lado oculto da Lua e dois asteroides levam o nome de al-Khwarizmi, e ele é amplamente homenageado no Irã, no Uzbequistão e no mundo árabe.

A crônica de al-Tabari dá o nome Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī al-Majūsī al-Quṭrubbullī. O historiador da ciência G. J. Toomer interpretou al-Majūsī ("o Magiano", ou seja, zoroastriano) como sugerindo ascendência zoroastriana, e al-Quṭrubbullī como apontando para Qutrubbul, um distrito perto de Bagdá. Como o prefácio da álgebra é piedosamente muçulmano, Toomer sugeriu que o epíteto poderia descrever seus antepassados ou sua juventude.

Roshdi Rashed rejeitou essa leitura. Ele argumentou que a passagem originalmente nomeava duas pessoas diferentes — "al-Khwārizmī e al-Majūsī al-Quṭrubbullī" — e que a palavra árabe wa ("e") havia se perdido em uma cópia antiga. Nessa visão, os epítetos não nos dizem nada sobre al-Khwarizmi. Outros estudiosos, como David A. King, aceitaram a ligação com Qutrubbul. O desacordo mostra o quanto da biografia depende da interpretação de uma única tradição manuscrita.

Outra sugestão, feita por D. M. Dunlop, é que al-Khwarizmi poderia ser idêntico a Muḥammad ibn Mūsā ibn Shākir, o mais velho dos irmãos Banū Mūsā, que também foram cientistas destacados em Bagdá. Essa identificação não é amplamente aceita. A afirmação mais segura é que temos um pequeno número de relatos tardios e os próprios prefácios do autor, e que relatos populares frequentemente preenchem as lacunas com invenção.

Os historiadores discordam fortemente sobre as fontes e a originalidade da álgebra de al-Khwarizmi. Escribas babilônios já resolviam problemas quadráticos dois mil anos antes, Diofanto de Alexandria havia escrito a Aritmética, e matemáticos indianos como Brahmagupta tinham regras para equações quadráticas e usavam números negativos e notação abreviada. Al-Khwarizmi, por outro lado, escrevia inteiramente por extenso e evitava quantidades negativas.

Alguns estudiosos, incluindo Toomer e Rashed, acham que as provas geométricas mostram familiaridade com os Elementos de Euclides, especialmente o Livro II, que seu colega de Bagdá al-Hajjaj havia traduzido. Solomon Gandz argumentou o oposto: a álgebra não tem definições, axiomas ou demonstrações de estilo euclidiano, e sua geometria está mais próxima da mensuração prática. Gandz e, mais tarde, Karen Parshall apontaram paralelos com o Mishnat ha-Middot, um texto geométrico hebraico, embora a data desse texto seja ela mesma debatida.

As opiniões sobre sua realização variam amplamente. Gandz o chamou mais merecedor que Diofanto do título de "pai da álgebra", porque ensinou álgebra "de forma elementar e por seu próprio valor". Rashed ressaltou a novidade de tratar a própria equação, classificada exaustivamente, como objeto de estudo. Carl Boyer observou que sua obra era mais elementar e mais "retórica" que a de Diofanto ou Brahmagupta, mas mais próxima em espírito da álgebra elementar moderna. Toomer, em contraste, julgou sua matemática em si bastante modesta, embora reconhecendo sua enorme influência.

Uma forma útil de enquadrar o debate é separar as técnicas da organização. Muitas técnicas individuais existiam antes dele; o que era novo era um arcabouço sistemático e ensinável — formas padrão, operações gerais e provas — apresentado em uma língua que se tornou o meio internacional da ciência. A influência desse arcabouço, mais do que qualquer descoberta isolada, explica seu lugar na história da matemática.

As obras de al-Khwarizmi sobrevivem de forma muito desigual. A álgebra existe em árabe, em um único manuscrito em Oxford usado por Rosen, e em versões latinas medievais (uma cópia em latim está em Cambridge). A aritmética sobrevive apenas em adaptações latinas que divergem do original perdido, então reconstruir o que ele mesmo escreveu exige comparar vários textos latinos. O Zīj sobrevive apenas por meio da revisão de al-Majriti, em latim. A geografia sobrevive em um manuscrito árabe em Estrasburgo. Outras obras curtas sobre relógios de sol, o astrolábio e a qibla estão preservadas em manuscritos em Berlim, Istambul, Tashkent, Cairo e Paris; algumas atribuições são incertas.

Seu Kitāb al-taʾrīkh, um livro de anais, está perdido, mas foi citado no século XI pelo bispo siríaco Elias de Nísibis. Isso nos lembra que seus contemporâneos também o conheciam como historiador e cronologista, e não apenas como matemático.

O papel da Casa da Sabedoria também exige cuidado. Escritores dos séculos XIX e XX frequentemente a descreveram como uma grande academia ou universidade com departamentos de pesquisa. Alguns historiadores recentes argumentam que as fontes antigas descrevem algo mais modesto — uma biblioteca palaciana e um lugar onde estudiosos trabalhavam — e que a imagem mais grandiosa é uma projeção posterior. A conexão de al-Khwarizmi com a corte do califa é clara por suas dedicatórias; o ambiente institucional preciso é menos certo.