Euclides

Euclides foi um matemático grego da Antiguidade, muitas vezes chamado de “pai da geometria”. Viveu e lecionou em Alexandria, a cidade do Egito fundada por Alexandre, o Grande e governada pelos reis ptolomaicos, de língua grega. Costuma-se situá-lo por volta de 300 a.C.

Ele é famoso, acima de tudo, por um único livro: os Elementos. Nele reuniu a geometria e a aritmética que os matemáticos gregos haviam desenvolvido nos séculos anteriores e organizou tudo em uma única cadeia lógica, na qual cada resultado é provado a partir dos anteriores. Muitos de seus teoremas foram descobertos por outros, mas a organização, muitas das provas e o projeto geral fizeram dele o livro-texto padrão de matemática por mais de dois mil anos.

Junto com Arquimedes e Apolônio de Perga, Euclides costuma ser classificado entre os maiores matemáticos da Antiguidade. Hoje, “geometria euclidiana” é o nome da geometria comum do espaço plano que a maioria das pessoas aprende na escola.

Quase nada sobre a vida de Euclides é certo. Nenhum escritor de sua própria época o descreve, e não existe nenhum retrato feito em vida; as imagens de Euclides na arte posterior são imaginárias. A maior parte do que se diz sobre ele vem de dois estudiosos que viveram seis ou sete séculos depois: Papo de Alexandria (início do século IV d.C.) e Proclo (século V d.C.).

Proclo diz que Euclides viveu depois dos discípulos de Platão e antes de Arquimedes, na época do primeiro rei Ptolomeu. Isso o situa aproximadamente por volta de 300 a.C. Papo menciona que o matemático posterior Apolônio estudou com discípulos de Euclides em Alexandria, o que sugere que Euclides fundou ali uma escola de matemática. Costuma-se supor que ele tenha estudado em Atenas com seguidores de Platão, já que sua obra se apoia na geometria do círculo de Platão, mas isso é apenas uma conjectura.

Duas histórias famosas são contadas sobre ele. Em uma, o rei Ptolomeu pede um atalho para a geometria e Euclides responde que “não há estrada real para a geometria”. Em outra, um aluno pergunta o que vai ganhar ao aprender geometria, e Euclides manda um servo lhe dar uma moeda, “já que ele precisa tirar proveito daquilo que aprende”. Ambas as histórias foram escritas séculos depois, e uma versão quase idêntica da primeira é contada sobre outro matemático e Alexandre, o Grande, de modo que os historiadores as tratam como lendas.

Alexandria foi fundada em 331 a.C. Após a morte de Alexandre, seu general Ptolomeu tomou o controle do Egito, e a partir de cerca de 306 a.C. seu governo trouxe uma estabilidade rara nas guerras entre os sucessores de Alexandre. Os ptolomeus construíram grandes instituições, incluindo o Museu (“santuário das Musas”), um centro de pesquisa e ensino, e a famosa Biblioteca.

Estudiosos de todo o mundo grego eram atraídos para Alexandria. Euclides costuma ser imaginado como um dos primeiros estudiosos do Museu, embora nenhuma fonte antiga afirme isso diretamente. O que é claro é que Alexandria se tornou o principal centro da matemática e da ciência gregas por séculos, lar de figuras posteriores como Eratóstenes, Herão, Ptolomeu o astrônomo, Papo e Téon.

Euclides está, assim, num ponto de encontro: herdou a matemática desenvolvida em Atenas pela geração de Platão e Aristóteles, e sua obra se tornou o alicerce da tradição alexandrina que se seguiu.

Os Elementos (em grego, Stoicheia) estão divididos em treze “livros”, que são mais parecidos com longos capítulos. Os livros 1 a 6 tratam de geometria plana: triângulos, retas paralelas, áreas, círculos, polígonos regulares e figuras semelhantes. O livro 5 apresenta uma teoria geral de razão e proporção, provavelmente baseada no trabalho de Eudoxo de Cnido.

Os livros 7 a 9 tratam dos números inteiros: divisibilidade, números primos e números em proporção contínua. O livro 10, o mais longo e mais difícil, classifica os comprimentos incomensuráveis (em termos modernos, irracionais). Os livros 11 a 13 voltam-se para a geometria espacial e terminam com a construção dos cinco sólidos regulares (o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro) e a prova de que não existem outros.

Mais dois livros, o 14 e o 15, foram acrescentados a muitas cópias posteriores, mas foram escritos por outros autores; o livro 14 é atribuído a Hípsicles. Os Elementos não contêm introdução, nenhuma observação histórica e quase nada pessoal: é uma sequência de definições, suposições, enunciados e provas, cada uma com seu diagrama.

O livro 1 abre com 23 definições, como “um ponto é aquilo que não tem partes” e “uma linha é comprimento sem largura”. Seguem-se cinco postulados e cinco noções comuns. Os postulados permitem as construções básicas da geometria com régua e compasso: traçar uma linha reta entre dois pontos, prolongar uma linha, traçar um círculo com qualquer centro e raio; eles também afirmam que todos os ângulos retos são iguais. As noções comuns são verdades gerais sobre grandezas, como “coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si” e “o todo é maior que a parte”.

Tudo o mais é uma proposição: ou um problema (uma construção a ser realizada) ou um teorema (um enunciado a ser provado). Cada proposição é enunciada em termos gerais, ilustrada com um diagrama, provada passo a passo usando apenas o que já foi estabelecido antes, e encerrada com uma fórmula; traduções latinas mais tarde a verteram como “o que devia ser demonstrado” (quod erat demonstrandum, QED).

Essa estrutura axiomático-dedutiva, na qual todo um campo cresce a partir de um pequeno conjunto de pontos de partida explicitamente enunciados, é o legado mais duradouro de Euclides. Escritores posteriores em filosofia, física e matemática tomaram repetidamente essa forma emprestada. Aristóteles já havia discutido os primeiros princípios e a demonstração, e os termos de Euclides ecoam essas discussões, mas os Elementos são o mais antigo exemplo sobrevivente em larga escala do método posto em prática.

O livro 1 termina com o teorema de Pitágoras (proposição 47) e sua recíproca (48). Essa é a mais antiga prova sobrevivente do teorema, baseada em uma figura às vezes apelidada de “moinho de vento” ou “cadeira da noiva”. Antes, no mesmo livro, a proposição 5 (os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais) ficou conhecida na Europa medieval como pons asinorum, a “ponte dos asnos”, que os alunos mais fracos não conseguiam atravessar.

O livro 7 começa com o procedimento hoje chamado de algoritmo de Euclides: para encontrar o máximo divisor comum de dois números, subtrai-se (ou divide-se) repetidamente o menor do maior até que o resto seja zero. É um dos algoritmos mais antigos ainda em uso cotidiano, inclusive na criptografia computacional. A proposição 20 do livro 9 prova que existem mais números primos do que qualquer quantidade dada, ou seja, que os primos nunca terminam, com um argumento ainda ensinado hoje.

A proposição 11 do livro 2 e proposições posteriores constroem a divisão de uma linha em “razão extrema e média”, hoje chamada de razão áurea, usada para construir o pentágono regular, o dodecaedro e o icosaedro. O livro 12 usa o método da exaustão, precursor do cálculo integral, para mostrar, por exemplo, que um cone é um terço do cilindro de mesma base e altura.

Euclides escreveu muito além dos Elementos. Os Dados explicam o que se pode deduzir quando certos elementos de uma figura são “dados”, uma espécie de guia para a resolução de problemas. A Óptica é o mais antigo tratado grego sobrevivente sobre perspectiva: trata a visão como linhas retas (raios visuais) que se espalham do olho em forma de cone e prova, por exemplo, por que objetos mais distantes parecem menores. Os Fenômenos aplicam a geometria esférica à astronomia, descrevendo os movimentos dos céus vistos da Terra.

Sobre a Divisão de Figuras, que sobrevive apenas parcialmente em uma tradução árabe, trata de cortar figuras em partes com razões dadas. A Catóptrica, sobre espelhos, é atribuída a ele, mas muitos estudiosos duvidam que seja sua.

Diversas obras se perderam e são conhecidas apenas por descrições posteriores: as Cônicas, um tratado em quatro livros sobre seções cônicas, mais tarde superado por Apolônio; os Porismas, uma coleção de cerca de duzentas proposições de um tipo especial; a Pseudária, um livro sobre falácias geométricas para ajudar iniciantes a evitar erros; e os Lugares de Superfície.

A evidência mais antiga dos Elementos é um conjunto de seis ostraca (fragmentos de cerâmica com inscrições) de Elefantina, no Egito, do século III a.C., que tratam de proposições do livro 13. O papiro mais antigo sobrevivente com seu texto, o Papiro Oxirrinco 29, data de cerca de 75–125 d.C. No século IV d.C., Téon de Alexandria preparou uma edição que se tornou a base de quase todos os manuscritos gregos posteriores.

Por volta de 800 d.C., sob o califa Harune Arraxide, al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar traduziu os Elementos para o árabe; uma tradução posterior de Ishaq ibn Hunayn foi revisada por Thabit ibn Qurra. Matemáticos do mundo islâmico estudaram, comentaram e ampliaram a obra, incluindo tentativas de provar o postulado das paralelas. Por volta de 1120, o monge inglês Adelardo de Bath a traduziu do árabe para o latim, e a versão latina de Campano de Novara, do século XIII, tornou-se padrão no Ocidente.

A primeira edição impressa, por Erhard Ratdolt em Veneza em 1482, foi um dos primeiros livros de matemática já impressos; mais de mil edições vieram depois. A primeira tradução para o inglês, de Henry Billingsley com prefácio de John Dee, apareceu em 1570. Em 1607, o jesuíta Matteo Ricci e o estudioso Xu Guangqi publicaram uma tradução chinesa dos seis primeiros livros, o Jihe yuanben, que introduziu a geometria euclidiana no Leste Asiático e deu ao chinês a palavra jihe para geometria.

O quinto postulado de Euclides diz, em essência, que, se uma linha reta cruza duas outras linhas de modo que os ângulos internos de um dos lados somem menos que dois ângulos retos, essas duas linhas, se prolongadas o bastante, vão se encontrar desse lado. Isso equivale a dizer que, por um ponto fora de uma reta, passa exatamente uma paralela a essa reta. Comparado aos outros postulados, ele é longo e não autoevidente, e Euclides evita usá-lo até a proposição 29 do livro 1.

Por dois mil anos, matemáticos, incluindo Ptolomeu, Proclo, Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi e, mais tarde, europeus como Saccheri, tentaram prová-lo a partir dos outros quatro. Todos fracassaram, embora seus esforços tenham revelado muitos enunciados equivalentes.

No início do século XIX, Nikolai Lobachevsky (publicado em 1829), János Bolyai e, em particular, Carl Friedrich Gauss mostraram que se pode construir uma geometria consistente na qual o quinto postulado é falso. Bernhard Riemann mais tarde desenvolveu outros tipos de geometria curva. Essas geometrias não euclidianas provaram que o postulado é independente dos outros, e mais tarde se tornaram a linguagem matemática da relatividade geral de Einstein. Ironicamente, a decisão de Euclides de enunciar o postulado como uma suposição, em vez de fingir prová-lo, é hoje vista como um sinal de sua perspicácia lógica.

Os Elementos costumam ser descritos como o livro-texto de maior sucesso já escrito e, depois da Bíblia, um dos livros mais traduzidos, publicados e estudados da história. Na Europa, permaneceram o núcleo do ensino de matemática até o século XX; a expressão “estudar Euclides” simplesmente significava estudar geometria.

Sua influência foi muito além da matemática. Pensadores que admiravam sua certeza tentaram apresentar a filosofia, a ética e a física “à maneira geométrica”: a Ética de Espinosa é escrita como definições, axiomas e proposições, e os Principia de Newton seguem um padrão semelhante. Edições impressas inspiraram artistas renascentistas como Piero della Francesca, e a edição de Oliver Byrne, de 1847, substituiu letras por diagramas coloridos para ajudar os aprendizes.

O nome de Euclides sobrevive na geometria euclidiana, no algoritmo de Euclides, no teorema de Euclides sobre os números primos, em uma cratera lunar e no telescópio espacial Euclid da Agência Espacial Europeia, lançado em 2023 para mapear a geometria do universo escuro.

A referência firme mais antiga a Euclides está no prefácio do livro 1 das Cônicas de Apolônio (início do século II a.C.), que critica o tratamento dado por Euclides ao lugar geométrico de três e quatro linhas. Arquimedes e Apolônio dão por certas proposições dos Elementos, sugerindo que a obra já circulava no século III a.C., embora Arquimedes use uma teoria de proporção mais antiga do que a do livro 5. Uma única menção a Euclides em Sobre a Esfera e o Cilindro, de Arquimedes, na qual Proclo baseou sua datação, foi considerada por Johannes Hjelmslev uma inserção posterior. Citações firmes dos Elementos em obras com datação segura só começam com Galeno e Alexandre de Afrodísias, no século II d.C.

Tradições posteriores multiplicaram a confusão. O compilador romano Valério Máximo colocou o nome de Euclides em uma história sobre Platão e a duplicação do cubo, e escritores bizantinos e latinos medievais confundiram o matemático com Euclides de Mégara, um filósofo discípulo de Sócrates um século antes; a edição impressa dos Elementos de 1482 o chama de “Megarensis”. Estudiosos renascentistas, sobretudo Pierre de la Ramée (Petrus Ramus), expuseram o erro. Fontes árabes medievais lhe atribuem um pai, Naucrates, e um local de nascimento em Tiro, detalhes que os historiadores consideram inventados.

Diante de evidências tão escassas, o historiador Jean Itard formulou três hipóteses: que Euclides foi um único autor histórico; que liderou uma equipe em Alexandria cujos membros contribuíram para as obras e continuaram escrevendo sob seu nome; ou que “Euclides” era um pseudônimo coletivo, como “Nicolas Bourbaki” foi para um grupo de matemáticos do século XX. A maioria dos historiadores aceita a primeira hipótese, reconhecendo, ao mesmo tempo, que Euclides se apoiou fortemente em predecessores e que sua escola pode ter moldado os textos; diferenças de estilo entre os livros podem ser explicadas por suas fontes.

Os Elementos que lemos hoje são uma reconstrução. Por séculos, todas as cópias gregas descendiam da edição de Téon, do século IV. Em 1808, François Peyrard identificou na Biblioteca do Vaticano um manuscrito (Vat. gr. 190, copiado no século X) que não deriva de Téon; a edição crítica de J. L. Heiberg (1883–1888) o tratou como a testemunha mais autêntica, corrigindo-o a partir das demais, e a tradução inglesa de Thomas Heath (1908) seguiu Heiberg. As traduções árabes carecem de muitos acréscimos explicativos encontrados nas duas versões gregas, o que gerou debate sobre se elas preservariam um texto anterior, mais enxuto; a questão continua em aberto.

A interpretação traz seus próprios problemas. A ideia de que o livro 2 contém uma “álgebra geométrica”, identidades algébricas disfarçadas de forma geométrica, era padrão no início do século XX; desde os anos 1970, historiadores como Sabetai Unguru a criticaram como anacrônica, argumentando que as grandezas, razões e números gregos devem ser entendidos em seus próprios termos. Ressalvas semelhantes valem para ler o livro 5 como uma teoria dos números reais ou o livro 10 como um tratado sobre números irracionais no sentido moderno.

Por fim, os Elementos não são logicamente perfeitos. Euclides frequentemente se apoia no que os diagramas mostram, por exemplo que dois círculos traçados na proposição 1 do livro 1 realmente se interceptam, ou em suposições não declaradas sobre ordem e posição intermediária. No fim do século XIX, Moritz Pasch identificou essas lacunas, e os Fundamentos da Geometria (1899), de David Hilbert, forneceram um sistema de axiomas completo; Alfred Tarski deu mais tarde outro sistema, e, em 2017, Michael Beeson e colegas usaram assistentes de prova computacionais para verificar as proposições do livro 1 diante de um conjunto de axiomas semelhante ao de Euclides. Alguns estudiosos recentes argumentam que o raciocínio diagramático de Euclides segue regras próprias e consistentes, em vez de ser um mero descuido.