Aryabhata

Aryabhata, muitas vezes chamado de Aryabhata I para distingui-lo de um astrônomo posterior com o mesmo nome, é o mais antigo matemático-astrônomo indiano cuja própria obra sobrevive por completo. Ele é o autor do Āryabhaṭīya, um tratado compacto em versos sânscritos que moldou a astronomia indiana por mais de mil anos.

Quase tudo o que sabemos sobre sua vida vem de poucas linhas em seu próprio livro e de comentários feitos por autores posteriores. No terceiro capítulo, ele diz que, quando 3.600 anos da Kali Yuga, a era atual na cosmologia indiana, já haviam se passado, ele tinha 23 anos. Esse ano corresponde a 499 d.C., o que significa que ele nasceu em 476. Alguns estudiosos acham que 499 foi o ano em que ele escreveu o livro; outros pensam que é apenas um ponto de referência astronômico que ele escolheu.

Seu nome se escreve corretamente Aryabhata, não “Aryabhatta”. Astrônomos posteriores, como Brahmagupta, o mencionam pelo nome muitas vezes, e a grafia com um só “t” também se encaixa na métrica do verso sânscrito.

Não existe nenhum retrato de Aryabhata. Estátuas e imagens feitas em tempos modernos, como a estátua no Centro Interuniversitário de Astronomia e Astrofísica em Pune, são obras de imaginação.

Aryabhata trabalhou em um período que os historiadores costumam chamar de era Gupta, quando boa parte do norte da Índia era governada pela dinastia Gupta a partir de seu núcleo em Magadha (atual Bihar). A época é lembrada pela literatura sânscrita, pela escultura, pela construção de templos e pelos escritos científicos. Pataliputra, a antiga capital imperial às margens do Ganges, era um grande centro de saber e comércio.

No Āryabhaṭīya, ele diz que está apresentando um conhecimento honrado em Kusumapura. Tanto a tradição hindu quanto a budista, além do comentarista do século VII Bhaskara I, identificam Kusumapura com Pataliputra. Um verso posterior o descreve como um kulapa, o chefe de uma instituição, em Kusumapura. Como o grande mosteiro de Nalanda não ficava longe, às vezes se afirma que ele o dirigia, mas não há nenhuma evidência disso em seus próprios escritos, e a maioria dos historiadores trata isso como especulação.

Seu local de nascimento é menos certo. Bhaskara I o chama de āśmakīya, “pertencente a Ashmaka”, uma região geralmente situada no Decã, entre os rios Narmada e Godavari. Alguns autores defenderam Kerala, no extremo sul, observando que muitos comentários posteriores sobre sua obra foram escritos ali. Outros pensam que ele nasceu perto de Pataliputra. As evidências não resolvem a questão.

Uma tradição local em Bihar o liga a um observatório no templo do Sol de Taregana, ao sul de Patna. Isso também é uma tradição posterior, e não história documentada.

O Āryabhaṭīya é impressionantemente curto. Tem quatro capítulos (pādas). O primeiro, o Gītikāpāda, tem 13 versos: uma invocação, um sistema engenhoso para escrever números com sílabas e tábuas de constantes astronômicas, incluindo o número de revoluções dos planetas em um grande ciclo de 4.320.000 anos e uma tábua de senos condensada em um único verso.

O segundo capítulo, o Gaṇitapāda, tem 33 versos sobre matemática: quadrados e cubos e suas raízes, áreas e volumes, propriedades de círculos e triângulos, sombras projetadas por um gnômon (uma vareta vertical usada como relógio de sol), séries aritméticas, juros e métodos para resolver equações. O terceiro, o Kālakriyāpāda, tem 25 versos sobre unidades de tempo e os movimentos dos planetas. O quarto, o Golapāda, tem 50 versos sobre a esfera celeste, a forma da Terra, o dia e a noite, e os eclipses.

O livro é escrito no estilo conciso da literatura técnica indiana. Cada verso é um recurso mnemônico, condensando uma regra em poucas palavras que um estudante decoraria e um professor depois explicaria. É por isso que o Āryabhaṭīya sempre foi lido junto com comentários. O mais antigo que sobreviveu, de Bhaskara I, data de 629 d.C.

Aryabhata também escreveu pelo menos outra obra, um sistema astronômico em que o dia começa à meia-noite em vez do nascer do sol. Ela se perdeu, mas astrônomos posteriores, como Varahamihira, Brahmagupta e Bhaskara I, a citam ou a descrevem, e ela incluía descrições de instrumentos como o gnômon e as clepsidras.

O verso mais famoso do Gaṇitapāda dá uma regra para a circunferência de um círculo. Pode ser traduzido assim: “Some quatro a cem, multiplique por oito e some sessenta e dois mil: essa é a circunferência aproximada de um círculo cujo diâmetro é vinte mil.” O resultado, 62.832 dividido por 20.000, dá π ≈ 3,1416, correto até a quarta casa decimal. Aryabhata usou a palavra āsanna, “aproximando-se” ou “perto de”, que alguns historiadores interpretam como um sinal de que ele sabia que o valor só podia ser aproximado.

Aryabhata trabalhava com a meia-corda de um círculo, em vez da corda completa usada pelos astrônomos gregos. Essa meia-corda, chamada ardha-jyā ou simplesmente jyā, é essencialmente o nosso seno. Sua tábua traz valores para 24 ângulos, em intervalos de 3° 45′, ao longo de um quarto de círculo, e ele descreve um jeito de calcular a tábua a partir das diferenças entre valores sucessivos. A história posterior da palavra é notável: o sânscrito jyā virou o árabe jība, que depois foi lido como jayb (“dobra” ou “bolso”) e traduzido para o latim como sinus, origem da palavra portuguesa “seno”.

Outra contribuição importante é um método para encontrar soluções em números inteiros para equações como ax − by = c, conhecidas como equações diofantinas lineares ou indeterminadas. Os matemáticos indianos chamavam essa técnica de kuṭṭaka, “o pulverizador”, porque ela reduz os números passo a passo a números menores, de forma parecida com o algoritmo de Euclides. Esses problemas eram importantes para a astronomia, em que era preciso descobrir quando vários ciclos se alinhariam. Bhaskara I e matemáticos posteriores aperfeiçoaram o método.

O livro também traz regras para a soma de séries aritméticas e para a soma dos quadrados e cubos dos primeiros n números, fórmulas para áreas e volumes, e métodos para extrair raízes quadradas e cúbicas. Esses métodos de extração de raiz só funcionam dentro de um sistema numérico posicional com dez algarismos. Aryabhata não escrevia os algarismos em si; em vez disso, usava seu próprio sistema, no qual sílabas representavam números, o que permitia encaixar números longos em versos.

A afirmação mais ousada de Aryabhata diz respeito à Terra. No primeiro capítulo, ele dá o número de rotações da Terra em um grande ciclo, e no Golapāda explica o movimento diário das estrelas com uma imagem: assim como uma pessoa em um barco que avança vê objetos parados na margem parecerem se mover para trás, as pessoas em Lanka (um ponto de referência no equador) veem as estrelas paradas parecerem se mover para o oeste. A maioria dos astrônomos de sua época, na Índia e em outros lugares, acreditava que a Terra era fixa e que os céus giravam ao seu redor.

A ideia não foi amplamente aceita. Astrônomos indianos posteriores, incluindo Brahmagupta, a rejeitaram, e alguns comentaristas até alteraram a redação dos versos para que fossem os céus a se mover. Séculos depois, o estudioso persa al-Biruni relatou que os seguidores de Aryabhata defendiam que a Terra gira.

Aryabhata também deu uma explicação física clara para os eclipses. Afirmou que a Lua e os planetas brilham por luz solar refletida, e que um eclipse lunar ocorre quando a Lua entra na sombra da Terra, enquanto um eclipse solar ocorre quando a Lua cobre o Sol. Na crença popular, os eclipses eram atribuídos a Rahu, um demônio que engole o Sol ou a Lua. Os versos de Aryabhata calculam o tamanho da sombra da Terra e a parte da Lua ou do Sol que ficará escurecida.

Seus valores numéricos eram impressionantemente precisos. O número que ele dá para o tempo que a Terra leva para girar uma vez em relação às estrelas equivale a 23 horas, 56 minutos e cerca de 4 segundos, muito próximo do valor moderno. Sua duração do ano sideral é de cerca de 365 dias, 6 horas e 12 minutos, apenas alguns minutos a mais do que o valor moderno.

A astronomia indiana estava intimamente ligada ao calendário e ao ritual. Sacerdotes e astrólogos precisavam saber as posições do Sol, da Lua e dos planetas para fixar festivais, momentos auspiciosos e os dias lunares chamados tithis. O Kālakriyāpāda de Aryabhata traz métodos para calcular as posições médias dos planetas em qualquer dia dado, para acrescentar meses intercalares e manter os calendários lunar e solar sincronizados, e para nomear os dias da semana.

A cosmologia indiana anterior dividia o tempo em eras enormes. Aryabhata manteve o grande ciclo de 4.320.000 anos, mas o dividiu em quatro partes iguais, em vez das eras desiguais da cosmologia puránica tradicional. Esse afastamento da tradição foi um dos motivos pelos quais Brahmagupta o criticou duramente.

O modelo planetário de Aryabhata é geocêntrico: o Sol, a Lua e os planetas se movem ao redor da Terra. Para reproduzir seus movimentos irregulares, cada planeta recebe dois epiciclos, um mais lento (manda) e um mais rápido (śīghra). A ordem dos planetas, a partir da Terra para fora, é Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, seguidos pelas estrelas. Modelos semelhantes aparecem em outros textos indianos do período, e muitos historiadores acham que eles preservam elementos da astronomia grega anteriores a Ptolomeu.

O Āryabhaṭīya inicia sua contagem do tempo com um momento em que todos os planetas estariam alinhados, no começo da Kali Yuga, em 3102 a.C. Essa época, compartilhada com outros sistemas indianos, oferecia um ponto de partida fixo para calcular as posições planetárias.

Aryabhata fundou o que mais tarde ficou conhecido como Āryapakṣa, a “escola de Aryabhata”, uma das principais tradições da astronomia indiana. Bhaskara I, escrevendo cerca de um século depois, produziu um comentário detalhado em 629 e o elogiou como o mestre que havia alcançado a margem distante do oceano da matemática, da cinemática e da esferologia. Brahmagupta, escrevendo em 628, criticou muitas de suas ideias, mas as discutiu longamente, o que mostra o quanto ele foi influente.

O Āryabhaṭīya foi especialmente importante no sul da Índia. Em Kerala, astrônomos e matemáticos produziram uma longa série de comentários, culminando na obra de Nilakantha Somayaji, cujo comentário foi escrito por volta de 1500. A escola de matemática de Kerala, famosa por seu trabalho com séries infinitas, se via como continuadora da tradição de Aryabhata.

Os fazedores de calendário em toda a Índia usavam cálculos da tradição de Aryabhata para preparar o pañcāṅga, o almanaque tradicional. Seu sistema numérico com sílabas foi amplamente imitado em obras astronômicas do sul da Índia.

Um astrônomo posterior, conhecido como Aryabhata II, escreveu uma obra chamada Mahāsiddhānta por volta do século X. Ele não deve ser confundido com o autor do Āryabhaṭīya.

As obras de astronomia indianas viajaram para o oeste no século VIII, quando estudiosos da corte abássida em Bagdá traduziram textos sânscritos para o árabe. Por meio dessas traduções, as tábuas de seno indianas e os métodos para calcular posições planetárias entraram na astronomia islâmica, que depois os transmitiu à Europa. O caminho exato pelo qual as ideias do próprio Aryabhata viajaram nem sempre é claro, e as fontes árabes frequentemente falam da astronomia indiana em geral, sem citá-lo pelo nome.

Al-Biruni, que escreveu um livro famoso sobre a Índia no século XI, conhecia Aryabhata e seus seguidores e discutiu a visão deles de que a Terra gira. A história da palavra “seno”, do sânscrito jyā, passando pelo árabe, até o latim sinus, é um pequeno mas vívido vestígio dessa cadeia de transmissão.

Na Índia moderna, Aryabhata se tornou um símbolo nacional da conquista científica. O primeiro satélite da Índia, construído pela Organização de Pesquisa Espacial da Índia e lançado em um foguete soviético em 19 de abril de 1975, recebeu o nome de Aryabhata. O satélite apareceu no verso da nota de duas rupias indianas. Uma cratera lunar, um instituto de pesquisa em ciências observacionais perto de Nainital e uma universidade em Patna também levam seu nome.

Aryabhata costuma ser apresentado em relatos populares como o inventor do zero ou como alguém que teria antecipado o sistema heliocêntrico de Copérnico. As duas afirmações vão além do que as evidências mostram, como explicam as seções mais avançadas.

Aryabhata conhecia o zero? O Āryabhaṭīya não usa nenhum símbolo para o zero, e seus números são escritos com sílabas. No entanto, seus métodos para extrair raízes quadradas e cúbicas operam algarismo por algarismo em um sistema numérico posicional decimal, e seu esquema de numeração atribui sílabas a potências de dez, algumas das quais podem ter coeficientes nulos. Georges Ifrah e outros argumentam que o conceito de zero como marcador de posição estava, portanto, implícito. A maioria dos historiadores concorda que a aritmética posicional decimal já estava em uso; a questão de quando o zero se tornou um número explícito, com regras próprias, costuma ser atribuída a Brahmagupta, em 628.

Ele sabia que π era irracional? A palavra āsanna, “aproximando-se”, pode ser lida como um simples reconhecimento de que 3,1416 é aproximado ou, de forma mais ambiciosa, como uma intuição de que não existe uma fração exata. A irracionalidade de π só foi provada na Europa por Johann Heinrich Lambert, em 1761. Como Aryabhata não apresenta nenhum argumento, a maioria dos historiadores trata a interpretação mais forte como possível, mas não comprovada. O MacTutor também observa que, em cálculos práticos, a tradição de Aryabhata frequentemente usava √10 em vez de 3,1416.

Seu sistema era secretamente heliocêntrico? O historiador B. L. van der Waerden argumentou que certas características do modelo planetário de Aryabhata, especialmente o papel do epiciclo śīghra ligado ao movimento médio do Sol, revelam uma teoria heliocêntrica subjacente, talvez herdada de fontes gregas perdidas. Noel Swerdlow e outros rejeitaram fortemente essa leitura, observando que o texto é explicitamente geocêntrico e que correções semelhantes ocorrem em sistemas que não são heliocêntricos. O consenso geral é que Aryabhata propôs uma Terra em rotação, não uma Terra orbitando o Sol.

De onde vêm seus parâmetros? Estudiosos como David Pingree rastrearam muitos elementos da astronomia matemática indiana até fontes babilônicas e helenísticas adaptadas na Índia, enquanto outros enfatizam desenvolvimentos indianos independentes. A relação entre o sistema de Aryabhata e as tradições anteriores do Paitāmaha-siddhānta e do Sūrya-siddhānta continua sendo um tema ativo de pesquisa.

O Āryabhaṭīya sobrevive em muitos manuscritos, na maioria do sul da Índia, geralmente acompanhados de comentários. Como os versos são tão condensados, os comentários são essenciais para entendê-los. O comentário de Bhaskara I, de 629, é o mais antigo e detalhado; comentários posteriores em Kerala, incluindo os de Parameshvara e Nilakantha Somayaji, mostram como o texto foi usado e, às vezes, reinterpretado.

Os estudos modernos sobre o texto começaram no século XIX. O estudioso holandês Hendrik Kern publicou o texto em sânscrito com o comentário de Parameshvara em Leiden, em 1874. A tradução para o inglês de Walter Eugene Clark apareceu em 1930. A edição crítica padrão, com tradução e notas, é a de K. S. Shukla e K. V. Sarma, publicada pela Academia Nacional de Ciências da Índia em 1976, que também editou o comentário de Bhaskara I.

As evidências biográficas são escassas e parcialmente lendárias. Além do verso que dá sua idade, dependemos de comentaristas que escreveram um século ou mais depois, e de tradições regionais que têm seus próprios interesses: as reivindicações de Kerala, Bihar e do Decã têm todas seus defensores. Por isso, os historiadores separam o que o texto diz das atribuições posteriores.

O sistema perdido da meia-noite é reconstruído a partir de obras posteriores, especialmente o Pañcasiddhāntikā de Varahamihira e o Khaṇḍakhādyaka de Brahmagupta, que segue a contagem da meia-noite de Aryabhata. Uma obra preservada em árabe que afirma ser uma tradução de Aryabhata também já foi discutida, mas sua ligação com ele é incerta.