Al-Chwarizmi

Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi war ein Mathematiker, Astronom und Geograf, der in der ersten Hälfte des 9. Jahrhunderts in Bagdad wirkte. Bagdad war damals die Hauptstadt des Abbasiden-Kalifats, eines Reiches, das sich von Nordafrika bis Zentralasien erstreckte, und eine der größten und reichsten Städte der Welt. Sein Name verrät uns drei Dinge: Er selbst hieß Muhammad, sein Vater hieß Musa, und er oder seine Familie stammte aus Chwarazm, einer fruchtbaren Region am unteren Amudarja südlich des Aralsees.

Berühmt ist er für vier Bücher. Das erste erklärte, wie man Gleichungen löst, und gab der Algebra ihren Namen. Das zweite lehrte, wie man mit den indischen Dezimalziffern rechnet, einschließlich der Null; sein lateinischer Titel begann mit seinem Namen und schenkte uns das Wort Algorithmus. Das dritte war eine Reihe astronomischer Tafeln zur Vorhersage der Positionen von Sonne, Mond und Planeten. Das vierte war eine Geografie, die die Breiten- und Längengrade von mehr als zweitausend Orten auflistete.

Keines dieser Bücher war allein für Fachleute geschrieben. Al-Chwarizmi sagte, er habe seine Algebra verfasst, um das „Leichteste und Nützlichste“ im Rechnen zu erklären, jene Dinge, die Menschen für Erbschaften, Vermächtnisse, Vermögensaufteilungen, Rechtsstreitigkeiten und Handel brauchten. Dieser praktische, klare Stil ist einer der Gründe, warum seine Bücher jahrhundertelang abgeschrieben, studiert und übersetzt wurden.

Bagdad wurde 762 vom abbasidischen Kalifen al-Mansur als neue runde Hauptstadt am Tigris gegründet. Kaufleute, Gelehrte und Beamte kamen von dort aus Arabien, Persien, Zentralasien, Indien und den alten griechischsprachigen Ländern zusammen. Papier, das sich erst kurz zuvor in der islamischen Welt verbreitet hatte, machte Bücher billiger in der Herstellung als je zuvor.

Die abbasidischen Herrscher finanzierten die Übersetzung wissenschaftlicher und philosophischer Werke aus dem Griechischen, Syrischen, Persischen und Sanskrit ins Arabische. Um die frühen 770er Jahre wurde ein indischer astronomischer Text an den Hof al-Mansurs gebracht und übersetzt. Unter Kalif al-Ma'mun (813–833), der ein starkes persönliches Interesse an der Wissenschaft hatte, wurden Übersetzung und Forschung in großem Umfang gefördert. Arabisch wurde von Spanien bis Zentralasien zur gemeinsamen Sprache der Wissenschaft.

Al-Chwarizmi wird traditionell mit dem Bayt al-Ḥikma, dem „Haus der Weisheit“, in Verbindung gebracht, einer Palastbibliothek und einem Lernzentrum in Bagdad. Spätere Berichte besagen, er sei dort Astronom gewesen und habe sogar dessen Bibliothek geleitet. Er widmete sowohl seine Algebra als auch seine astronomischen Tafeln al-Ma'mun, was zeigt, dass er dem Hof des Kalifen nahestand.

Über al-Chwarizmis Leben ist mit Sicherheit sehr wenig bekannt. Es gibt keine erhaltene Biografie von jemandem, der ihn kannte. Unsere Hauptinformationen stammen aus einem kurzen Eintrag im Fihrist, einem Katalog arabischer Bücher, den der Bagdader Buchhändler Ibn al-Nadim im späten 10. Jahrhundert zusammenstellte, aus wenigen Erwähnungen des Historikers al-Tabari sowie aus den Vorworten seiner eigenen Bücher.

Sein Geburtsjahr wird meist mit etwa 780 angegeben, sein Todesjahr mit etwa 850, doch dies sind Schätzungen. Die meisten seiner datierbaren Werke entstanden zwischen 813 und 833, während der Herrschaft al-Ma'muns. Ein Bericht besagt, er habe unter einem späteren Kalifen, al-Wathiq (reg. 842–847), an einer Gesandtschaft zu den Chasaren teilgenommen, einem Volk nördlich des Kaukasus; dies ist unsicher.

Er schrieb auf Arabisch, obwohl er persischer oder chwarazmischer Herkunft war. Das Vorwort seiner Algebra beginnt mit islamischem Lob Gottes und des Propheten, was zeigt, dass er sich selbst als Muslim darstellte. Über diese Punkte hinaus ist vieles, was manchmal über ihn erzählt wird – seine Lehrer, seine Familie, sein Alltag –, durch frühe Quellen nicht belegt.

Sein berühmtestes Werk ist al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala, „Das kurzgefasste Buch über die Berechnung durch Wiederherstellung und Ausgleich“, geschrieben in Bagdad um 820 auf Anregung al-Ma'muns. Es ist das älteste erhaltene Buch, das das Lösen von Gleichungen als eigenständiges Thema behandelt und nicht als Sammlung einzelner Aufgaben.

Al-Chwarizmi arbeitete mit drei Arten von Größen: „Zahlen“ (was wir Konstanten nennen würden), „Wurzeln“ (das Unbekannte, auch shayʾ, „Ding“, genannt) und „Quadraten“ (das Unbekannte mit sich selbst multipliziert). Er zeigte, dass sich jede lineare oder quadratische Aufgabe mit positiven Größen auf einen von sechs Standardtypen zurückführen lässt: Quadrate gleich Wurzeln; Quadrate gleich Zahlen; Wurzeln gleich Zahlen; Quadrate und Wurzeln gleich Zahlen; Quadrate und Zahlen gleich Wurzeln; sowie Wurzeln und Zahlen gleich Quadrate. Für jeden Typ gab er eine Regel zum Auffinden der Lösung an.

Zwei Operationen bringen eine Aufgabe in Standardform. Al-jabr, „Wiederherstellung“, entfernt eine subtrahierte Größe, indem sie beiden Seiten hinzugefügt wird: In moderner Schreibweise wird aus x² = 40x − 4x² die Form 5x² = 40x. Al-muqābala, „Ausgleich“, entfernt dieselbe Größe von beiden Seiten: Aus x² + 14 = x + 5 wird x² + 9 = x. Das erste dieser Wörter, ins Lateinische als algebra übernommen, wurde zum Namen der gesamten Disziplin.

Entscheidend ist, dass al-Chwarizmi keine Symbole verwendete. Alles, auch Zahlen, wird in Worten ausgeschrieben. Sein berühmtes Beispiel fragt nach einer Zahl, deren Quadrat plus dem Zehnfachen ihrer selbst neununddreißig ergibt, und er löst es durch „quadratische Ergänzung“. Anschließend beweist er die Regel mit einer geometrischen Figur: Ein Quadrat wird von Rechtecken umgeben, und kleine Eckquadrate werden hinzugefügt, bis ein größeres Quadrat vollständig ist. Die Antwort, drei, lässt sich aus der Zeichnung ablesen.

Das Buch setzt fort mit Regeln zum Multiplizieren und Umgang mit Ausdrücken, einem Abschnitt über die Messung von Flächen und Volumina (mit drei Näherungswerten für π, darunter 3 1/7 und 3,1416) und einem langen abschließenden Teil – etwa die Hälfte des Buches –, der Arithmetik und einfache Gleichungen auf das islamische Erbrecht anwendet, das ein Vermögen unter vielen Erben in festgelegten Anteilen aufteilt.

Al-Chwarizmi verfasste auch eine um 825 geschriebene Abhandlung, die erklärte, wie man mit den neun indischen Ziffern und einem Zeichen für Null in einem Stellenwertsystem rechnet – dem System, das wir heute Indisch-Arabische Ziffern nennen. Sie behandelte das Schreiben von Zahlen, Addition, Subtraktion, Verdopplung, Halbierung, Multiplikation und Division und offenbar auch Quadratwurzeln. Berechnungen wurden auf einem Staubbrett (takht) ausgeführt, einem mit feinem Sand bedeckten Brett, auf dem man Ziffern schreiben und schnell wieder auswischen konnte.

Das arabische Original ist verloren. Erhalten sind lateinische Bearbeitungen aus dem 12. Jahrhundert, von denen keine eine wörtliche Übersetzung ist. Die bekannteste beginnt mit Dixit Algorizmi – „Al-Chwarizmi sagte“ – und ist in einer einzigen Handschrift in Cambridge erhalten; sie wurde 1857 unter dem Titel Algoritmi de numero Indorum gedruckt. Auch andere lateinische Werke, wie der Liber Ysagogarum Alchorismi und der Liber Alchoarismi de practica arismetice, entwickelten seine Methoden weiter.

Auf Latein wurde al-Chwarizmis Name zu Algorismus oder Algoritmi. „Algorismus“ bezeichnete bald die neue Art des Rechnens mit geschriebenen Ziffern, im Gegensatz zum älteren Abakus; das englische Wort erscheint bereits im frühen 13. Jahrhundert. Später wurde es, unter dem Einfluss des griechischen arithmos („Zahl“), zu algorithmus umgeformt, und das englische „algorithm“ ist bis Ende des 16. Jahrhunderts belegt. Heute bezeichnet das Wort jedes genaue, schrittweise Verfahren, besonders eines, das von einem Computer ausgeführt wird.

Auch das spanische Wort guarismo und das portugiesische algarismo, beide „Ziffer“ bedeutend, stammen von seinem Namen. So wanderte der Name eines einzigen Gelehrten von Zentralasien nach Bagdad, von Bagdad nach Spanien und ins lateinische Europa, und schließlich in den Wortschatz der modernen Informatik.

Ein Zīj ist ein astronomisches Handbuch: eine Sammlung von Tabellen mit Anleitungen zur Berechnung der Positionen von Sonne, Mond und Planeten, der Zeiten von Finsternissen, der Sichtbarkeit des Neumonds und der Kalenderdaten. Al-Chwarizmis Zīj al-Sindhind ist eines der frühesten arabischen Werke dieser Art. Der überlieferten Beschreibung zufolge hatte es etwa 37 Kapitel und 116 Tabellen, darunter eine Sinustabelle.

Sein Name, Sindhind, stammt vom Sanskrit-Wort siddhānta, das eine astronomische Abhandlung bezeichnet. Die mittleren Bewegungen der Planeten in seinen Tabellen stammen aus der indischen Astronomie, insbesondere aus dem Brāhmasphuṭasiddhānta von Brahmagupta, das Jahrzehnte zuvor am abbasidischen Hof übersetzt worden war. Er verwendete auch persisches und einiges ptolemäisches Material. Diese Mischung zeigt, wie Bagdader Gelehrte Traditionen zusammenführten, die sich getrennt voneinander entwickelt hatten.

Der arabische Originaltext ist verloren. Erhalten ist er in einer um das Jahr 1000 vom andalusischen Astronomen Maslama al-Majriti angefertigten Überarbeitung, die im 12. Jahrhundert höchstwahrscheinlich von Adelard von Bath ins Lateinische übersetzt wurde (dieser Übersetzung wird das Jahr 1126 zugeschrieben). Vier Handschriften der lateinischen Fassung sind bekannt. Al-Chwarizmi schrieb außerdem über das Astrolabium und die Sonnenuhr, über die Bestimmung der Gebetsrichtung nach Mekka sowie über den jüdischen Kalender und seinen 19-Jahres-Zyklus.

Al-Chwarizmis Kitāb ṣūrat al-arḍ, „Das Buch vom Bild der Erde“, wurde 833 fertiggestellt. Es ist eine gründliche Neubearbeitung der Geografie des Claudius Ptolemäus aus dem 2. Jahrhundert. Nach einer kurzen Einleitung listet es die Koordinaten von 2.402 Orten auf – Städte, Berge, Meere, Inseln und Flüsse –, geordnet nach Klimazonen (Breitenbändern) und innerhalb jeder Zone nach Längengrad.

Er kopierte Ptolemäus nicht einfach. Er korrigierte dessen starke Überschätzung der Länge des Mittelmeers, von etwa 63 Längengraden auf nahezu 50, und stellte den Atlantik und den Indischen Ozean als offene Gewässer dar statt als eingeschlossene Meere. Seine Daten für die islamischen Länder, Afrika und Asien waren im Allgemeinen besser als die des Ptolemäus, während er sich für Europa stärker auf das ältere Material stützte.

Nur eine arabische Handschrift des Werks ist erhalten, heute in Straßburg, und sie enthält keine Weltkarte. Im 20. Jahrhundert übertrug der Gelehrte Hubert Daunicht die Koordinaten auf Millimeterpapier und rekonstruierte die Küstenlinien, Flüsse und Städte, die die verlorene Karte gezeigt haben muss. Al-Chwarizmi soll auch an al-Ma'muns Projekten zur Vermessung der Erde und zur Erstellung einer Weltkarte beteiligt gewesen sein.

In der islamischen Welt begründete al-Chwarizmis Algebra eine lange Tradition. Spätere Mathematiker wie Abu Kamil in Ägypten schrieben eigene Bücher mit demselben Titel und erweiterten seine Methoden; Jahrhunderte später löste Omar Khayyam kubische Gleichungen geometrisch in einer Abhandlung, die ebenfalls zu dieser Traditionslinie gehört. Sein Nullmeridian und seine Koordinaten wurden von vielen späteren muslimischen Geografen verwendet.

Im 12. Jahrhundert übersetzten Gelehrte in Spanien und anderswo arabische Wissenschaft ins Lateinische. Robert von Chester übersetzte die Algebra 1145 in Segovia, und Gerhard von Cremona fertigte eine weitere Fassung an. Die Algebra blieb bis ins 16. Jahrhundert ein wichtiges mathematisches Lehrbuch an europäischen Universitäten. Die arithmetischen Texte verbreiteten die indisch-arabischen Ziffern in Europa; spätere Autoren, darunter Leonardo von Pisa (Fibonacci), bauten auf dieser Tradition auf.

1831 veröffentlichte Frederic Rosen die erste englische Übersetzung der Algebra, gestützt auf die einzigartige arabische Handschrift in Oxford. Ein Krater auf der erdabgewandten Seite des Mondes und zwei Asteroiden sind nach al-Chwarizmi benannt, und er wird im Iran, in Usbekistan und in der arabischen Welt vielfach geehrt.

Al-Tabaris Chronik nennt den Namen Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī al-Majūsī al-Quṭrubbullī. Der Wissenschaftshistoriker G. J. Toomer deutete al-Majūsī („der Magier“, das heißt Zoroastrier) als Hinweis auf zoroastrische Vorfahren und al-Quṭrubbullī als Verweis auf Qutrubbul, einen Bezirk nahe Bagdad. Da das Vorwort der Algebra fromm muslimisch ist, vermutete Toomer, der Beiname könnte seine Vorfahren oder seine Jugend beschreiben.

Roshdi Rashed wies diese Lesart zurück. Er argumentierte, die Passage habe ursprünglich zwei verschiedene Personen benannt – „al-Khwārizmī und al-Majūsī al-Quṭrubbullī“ –, und das arabische Wort wa („und“) sei in einer frühen Abschrift ausgefallen. Dieser Ansicht nach sagen die Beinamen nichts über al-Chwarizmi aus. Andere Gelehrte, wie David A. King, haben die Verbindung zu Qutrubbul akzeptiert. Die Uneinigkeit zeigt, wie stark die Biografie von der Auslegung einer einzigen Handschriftentradition abhängt.

Ein weiterer, von D. M. Dunlop vorgebrachter Vorschlag lautet, al-Chwarizmi könnte identisch mit Muḥammad ibn Mūsā ibn Shākir sein, dem ältesten der Banū-Mūsā-Brüder, die ebenfalls führende Wissenschaftler in Bagdad waren. Diese Gleichsetzung wird nicht allgemein anerkannt. Die sicherste Aussage lautet, dass wir nur wenige späte Berichte und die eigenen Vorworte des Autors haben und dass populäre Darstellungen die Lücken oft mit Erfindungen füllen.

Historiker sind sich über die Quellen und die Originalität von al-Chwarizmis Algebra scharf uneins. Babylonische Schreiber hatten zweitausend Jahre zuvor quadratische Aufgaben gelöst, Diophant von Alexandria hatte die Arithmetica verfasst, und indische Mathematiker wie Brahmagupta hatten Regeln für quadratische Gleichungen und verwendeten negative Zahlen sowie eine abgekürzte Notation. Al-Chwarizmi hingegen schrieb vollständig in Worten und vermied negative Größen.

Manche Gelehrte, darunter Toomer und Rashed, meinen, die geometrischen Beweise zeigten Vertrautheit mit Euklids Elementen, besonders Buch II, das sein Bagdader Kollege al-Hajjaj übersetzt hatte. Solomon Gandz argumentierte das Gegenteil: Der Algebra fehlen Definitionen, Axiome und Beweise im euklidischen Stil, und ihre Geometrie steht der praktischen Feldmessung näher. Gandz und später Karen Parshall wiesen auf Parallelen zum Mishnat ha-Middot hin, einem hebräischen geometrischen Text, wenngleich die Datierung dieses Textes selbst umstritten ist.

Die Meinungen über seine Leistung gehen weit auseinander. Gandz nannte ihn eher als Diophant verdient, den Titel „Vater der Algebra“ zu tragen, weil er Algebra „in elementarer Form und um ihrer selbst willen“ lehrte. Rashed betonte die Neuartigkeit, die Gleichung selbst, erschöpfend klassifiziert, zum Gegenstand des Studiums zu machen. Carl Boyer merkte an, sein Werk sei elementarer und „rhetorischer“ als das von Diophant oder Brahmagupta gewesen, stehe der modernen elementaren Algebra jedoch im Geiste näher. Toomer dagegen beurteilte seine Mathematik an sich als recht bescheiden, erkannte aber ihren enormen Einfluss an.

Eine nützliche Art, die Debatte zu ordnen, ist die Trennung von Techniken und Organisation. Viele einzelne Techniken gab es schon vor ihm; neu war ein systematischer, lehrbarer Rahmen – Standardformen, allgemeine Operationen und Beweise –, dargestellt in einer Sprache, die zum internationalen Medium der Wissenschaft wurde. Der Einfluss dieses Rahmens, nicht eine einzelne Entdeckung, erklärt seinen Platz in der Geschichte der Mathematik.

Al-Chwarizmis Werke sind sehr ungleichmäßig überliefert. Die Algebra existiert auf Arabisch, in einer einzigartigen, von Rosen verwendeten Handschrift in Oxford, sowie in mittelalterlichen lateinischen Fassungen (eine lateinische Abschrift befindet sich in Cambridge). Die Arithmetik ist nur in lateinischen Bearbeitungen erhalten, die vom verlorenen Original abweichen, sodass die Rekonstruktion dessen, was er selbst schrieb, den Vergleich mehrerer lateinischer Texte erfordert. Der Zīj ist nur durch al-Majritis Überarbeitung auf Latein erhalten. Die Geografie ist in einer einzigen arabischen Handschrift in Straßburg erhalten. Andere kurze Werke über Sonnenuhren, das Astrolabium und die Gebetsrichtung sind in Handschriften in Berlin, Istanbul, Taschkent, Kairo und Paris bewahrt; manche Zuschreibungen sind unsicher.

Sein Kitāb al-taʾrīkh, ein Annalenbuch, ist verloren, wurde aber im 11. Jahrhundert vom syrischen Bischof Elias von Nisibis zitiert. Das erinnert daran, dass ihn seine Zeitgenossen auch als Historiker und Chronologen kannten, nicht nur als Mathematiker.

Auch die Rolle des Hauses der Weisheit bedarf der Sorgfalt. Autoren des 19. und 20. Jahrhunderts beschrieben es oft als eine große Akademie oder Universität mit Forschungsabteilungen. Manche neueren Historiker argumentieren, die frühen Quellen beschrieben etwas Bescheideneres – eine Palastbibliothek und einen Ort, an dem Gelehrte arbeiteten – und das großartigere Bild sei eine spätere Projektion. Al-Chwarizmis Verbindung zum Hof des Kalifen ist durch seine Widmungen klar belegt; der genaue institutionelle Rahmen ist weniger sicher.