Euklid

Euklid war ein antiker griechischer Mathematiker, oft „Vater der Geometrie“ genannt. Er lebte und lehrte in Alexandria, der von Alexander dem Großen gegründeten und von den griechischsprachigen Ptolemäerkönigen beherrschten Stadt in Ägypten. Er wird gewöhnlich auf etwa 300 v. Chr. datiert.

Berühmt ist er vor allem für ein Buch: die Elemente. Darin sammelte er die Geometrie und Arithmetik, die griechische Mathematiker in den vorangegangenen Jahrhunderten entwickelt hatten, und ordnete sie zu einer einzigen logischen Kette, in der jedes Ergebnis aus früheren bewiesen wird. Viele seiner Sätze wurden von anderen entdeckt, doch die Gliederung, viele der Beweise und die Gesamtanlage machten das Werk mehr als zweitausend Jahre lang zum Standardlehrbuch der Mathematik.

Zusammen mit Archimedes und Apollonios von Perge wird Euklid gemeinhin zu den größten Mathematikern der Antike gezählt. „Euklidische Geometrie“ ist heute der Name für die gewöhnliche Geometrie des flachen Raums, die die meisten Menschen in der Schule lernen.

Über Euklids Leben ist fast nichts gesichert. Kein Autor seiner eigenen Zeit beschreibt ihn, und kein Porträt aus seinen Lebzeiten ist erhalten; Darstellungen Euklids in späterer Kunst sind erfunden. Das meiste, was über ihn berichtet wird, stammt von zwei Gelehrten, die sechs oder sieben Jahrhunderte später lebten: Pappos von Alexandria (frühes 4. Jahrhundert n. Chr.) und Proklos (5. Jahrhundert n. Chr.).

Proklos schreibt, Euklid habe nach den Schülern Platons und vor Archimedes, zur Zeit des ersten Königs Ptolemaios, gelebt. Das setzt ihn ungefähr um 300 v. Chr. an. Pappos erwähnt, dass der spätere Mathematiker Apollonios bei Euklids Schülern in Alexandria studierte, was nahelegt, dass Euklid dort eine mathematische Schule gegründet hatte. Oft wird vermutet, er habe in Athen bei Anhängern Platons studiert, weil sein Werk auf der Geometrie von Platons Kreis aufbaut, doch das ist nur eine Vermutung.

Zwei berühmte Geschichten werden über ihn erzählt. In der einen bittet König Ptolemaios um eine Abkürzung zur Geometrie, und Euklid antwortet, „es gebe keinen Königsweg zur Geometrie“. In der anderen fragt ein Schüler, was ihm das Lernen der Geometrie einbringe, und Euklid lässt einen Diener ihm eine Münze geben, „da er ja aus dem, was er lernt, Gewinn ziehen muss“. Beide Geschichten wurden erst Jahrhunderte später niedergeschrieben, und eine fast identische Fassung der ersten wird über einen anderen Mathematiker und Alexander den Großen erzählt, weshalb Historiker sie als Legenden betrachten.

Alexandria wurde 331 v. Chr. gegründet. Nach Alexanders Tod übernahm sein General Ptolemaios die Herrschaft über Ägypten, und ab etwa 306 v. Chr. brachte seine Regierung eine Stabilität, die in den Kriegen zwischen Alexanders Nachfolgern selten war. Die Ptolemäer errichteten große Einrichtungen, darunter das Museion („Heiligtum der Musen“), ein Zentrum der Forschung und Lehre, sowie die berühmte Bibliothek.

Gelehrte aus der ganzen griechischen Welt zog es nach Alexandria. Euklid wird oft als einer der ersten Gelehrten des Museions vorgestellt, obwohl keine antike Quelle das ausdrücklich sagt. Klar ist, dass Alexandria über Jahrhunderte hinweg das führende Zentrum griechischer Mathematik und Wissenschaft wurde, Heimat späterer Gestalten wie Eratosthenes, Heron, des Astronomen Ptolemaios, Pappos und Theon.

Euklid steht damit an einem Knotenpunkt: Er erbte die Mathematik, die in Athen von der Generation Platons und Aristoteles' entwickelt worden war, und sein Werk wurde zum Fundament der alexandrinischen Tradition, die darauf folgte.

Die Elemente (griechisch Stoicheia) sind in dreizehn „Bücher“ gegliedert, die eher langen Kapiteln gleichen. Die Bücher 1 bis 6 behandeln die ebene Geometrie: Dreiecke, Parallelen, Flächen, Kreise, regelmäßige Vielecke und ähnliche Figuren. Buch 5 stellt eine allgemeine Theorie von Verhältnis und Proportion vor, wahrscheinlich aufbauend auf der Arbeit des Eudoxos von Knidos.

Die Bücher 7 bis 9 handeln von ganzen Zahlen: Teilbarkeit, Primzahlen und Zahlen in fortlaufender Proportion. Buch 10, das längste und schwierigste, klassifiziert inkommensurable (in heutigen Begriffen: irrationale) Strecken. Die Bücher 11 bis 13 wenden sich der Körpergeometrie zu und enden mit der Konstruktion der fünf regelmäßigen Körper (Würfel, Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder) und dem Beweis, dass es keine weiteren gibt.

Zwei weitere Bücher, 14 und 15, wurden vielen späteren Abschriften hinzugefügt, stammen aber von anderen Verfassern; Buch 14 wird Hypsikles zugeschrieben. Die Elemente enthalten keine Einleitung, keine geschichtlichen Bemerkungen und fast nichts Persönliches: Es ist eine Abfolge von Definitionen, Postulaten, Aussagen und Beweisen, jede mit ihrer Zeichnung.

Buch 1 beginnt mit 23 Definitionen, etwa „Ein Punkt ist das, was keine Teile hat“ und „Eine Linie ist eine breitenlose Länge“. Es folgen fünf Postulate und fünf gemeinsame Begriffe. Die Postulate erlauben die grundlegenden Konstruktionen der Geometrie mit Lineal und Zirkel: eine gerade Linie zwischen zwei Punkten zu ziehen, eine Linie zu verlängern, einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und Radius zu ziehen; außerdem besagen sie, dass alle rechten Winkel gleich sind. Die gemeinsamen Begriffe sind allgemeine Wahrheiten über Größen, etwa „was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“ und „das Ganze ist größer als der Teil“.

Alles Übrige ist ein Lehrsatz: entweder ein Problem (eine auszuführende Konstruktion) oder ein Theorem (eine zu beweisende Aussage). Jeder Lehrsatz wird allgemein formuliert, mit einer Zeichnung veranschaulicht, Schritt für Schritt allein mit zuvor Bewiesenem bewiesen und mit einer Schlussformel beendet; lateinische Übersetzungen gaben sie später als „was zu beweisen war“ (quod erat demonstrandum, QED) wieder.

Diese axiomatisch-deduktive Struktur, in der ein ganzes Gebiet aus einer kleinen Menge ausdrücklich genannter Ausgangspunkte erwächst, ist Euklids dauerhaftestes Vermächtnis. Spätere Autoren in Philosophie, Physik und Mathematik übernahmen wiederholt diese Form. Aristoteles hatte bereits über erste Prinzipien und Beweisführung gesprochen, und Euklids Begriffe knüpfen an solche Diskussionen an, doch die Elemente sind das älteste erhaltene groß angelegte Beispiel dafür, dass die Methode tatsächlich angewandt wird.

Buch 1 endet mit dem Satz des Pythagoras (Lehrsatz 47) und seiner Umkehrung (48). Dies ist der älteste erhaltene Beweis des Satzes, der auf einer Figur beruht, die manchmal scherzhaft „Windmühle“ oder „Braut-Stuhl“ genannt wird. Früher im selben Buch wurde Lehrsatz 5 (die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich) im mittelalterlichen Europa als pons asinorum, „Eselsbrücke“, bekannt, die schwächere Schüler nicht überqueren konnten.

Buch 7 beginnt mit dem heute als euklidischer Algorithmus bezeichneten Verfahren: um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, zieht man wiederholt die kleinere von der größeren ab (oder dividiert), bis der Rest null ist. Es ist einer der ältesten Algorithmen, die noch heute im Alltag verwendet werden, auch in der Computerkryptografie. Buch 9, Lehrsatz 20, beweist, dass es mehr Primzahlen gibt als jede vorgegebene Zahl, mit anderen Worten, dass die Primzahlen nie enden – mit einem Argument, das noch heute gelehrt wird.

Buch 2, Lehrsatz 11, und spätere Lehrsätze konstruieren die Teilung einer Strecke im „äußeren und mittleren Verhältnis“, heute goldener Schnitt genannt, die zum Bau des regelmäßigen Fünfecks, des Dodekaeders und des Ikosaeders verwendet wird. Buch 12 nutzt die Exhaustionsmethode, einen Vorläufer der Integralrechnung, um beispielsweise zu zeigen, dass ein Kegel ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ausmacht.

Euklid schrieb weit mehr als die Elemente. Die Data erklärt, was sich ableiten lässt, wenn bestimmte Elemente einer Figur „gegeben“ sind – eine Art Anleitung zum Problemlösen. Die Optik ist die älteste erhaltene griechische Abhandlung über Perspektive: Sie behandelt das Sehen als gerade Linien (Sehstrahlen), die kegelförmig vom Auge ausgehen, und beweist zum Beispiel, warum weiter entfernte Gegenstände kleiner erscheinen. Die Phaenomena wendet die sphärische Geometrie auf die Astronomie an und beschreibt die Bewegungen des Himmels, wie sie von der Erde aus erscheinen.

Über die Teilung von Figuren, das nur teilweise in einer arabischen Übersetzung erhalten ist, behandelt das Zerschneiden von Figuren in Teile mit vorgegebenen Verhältnissen. Die Katoptrik, über Spiegel, wird ihm zugeschrieben, doch viele Gelehrte bezweifeln, dass sie von ihm stammt.

Mehrere Werke sind verloren und nur aus späteren Beschreibungen bekannt: die Kegelschnitte, eine vierbändige Abhandlung über Kegelschnitte, die später von Apollonios abgelöst wurde; die Porismen, eine Sammlung von etwa zweihundert Lehrsätzen besonderer Art; die Pseudaria, ein Buch über geometrische Trugschlüsse, das Anfängern helfen sollte, Fehler zu vermeiden; und die Flächenörter.

Der älteste Beleg für die Elemente ist eine Reihe von sechs Ostraka (beschrifteten Tonscherben) aus Elephantine in Ägypten aus dem 3. Jahrhundert v. Chr., die Lehrsätze aus Buch 13 behandeln. Der früheste erhaltene Papyrus mit dem Text, Papyrus Oxyrhynchus 29, stammt aus der Zeit um 75–125 n. Chr. Im 4. Jahrhundert n. Chr. erstellte Theon von Alexandria eine Ausgabe, die zur Grundlage fast aller späteren griechischen Handschriften wurde.

Um 800 n. Chr., unter dem Kalifen Harun ar-Raschid, übersetzte al-Hajjadsch ibn Yusuf ibn Matar die Elemente ins Arabische; eine spätere Übersetzung von Ishaq ibn Hunain wurde von Thabit ibn Qurra überarbeitet. Mathematiker der islamischen Welt studierten, kommentierten und erweiterten das Werk, unter anderem mit Versuchen, das Parallelenpostulat zu beweisen. Um 1120 übersetzte der englische Mönch Adelard von Bath es aus dem Arabischen ins Lateinische, und die lateinische Fassung des Campanus von Novara aus dem 13. Jahrhundert wurde im Westen zum Standard.

Die erste gedruckte Ausgabe, von Erhard Ratdolt 1482 in Venedig, war eines der frühesten je gedruckten mathematischen Bücher; mehr als tausend Ausgaben folgten. Die erste englische Übersetzung von Henry Billingsley mit einem Vorwort von John Dee erschien 1570. 1607 veröffentlichten der Jesuit Matteo Ricci und der Gelehrte Xu Guangqi eine chinesische Übersetzung der ersten sechs Bücher, Jihe yuanben, die die euklidische Geometrie in Ostasien einführte und dem Chinesischen das Wort jihe für Geometrie gab.

Euklids fünftes Postulat besagt im Wesentlichen, dass sich zwei gerade Linien, wenn eine dritte Linie sie schneidet und die Innenwinkel auf einer Seite zusammen weniger als zwei rechte Winkel ergeben, bei hinreichender Verlängerung auf dieser Seite treffen. Es entspricht der Aussage, dass es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden genau eine Parallele zu dieser Geraden gibt. Verglichen mit den anderen Postulaten ist es lang und nicht selbstverständlich, und Euklid vermeidet es, bis er es in Lehrsatz 29 von Buch 1 benötigt.

Zweitausend Jahre lang versuchten Mathematiker, darunter Ptolemaios, Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Chayyam, Nasir ad-Din at-Tusi und später Europäer wie Saccheri, es aus den anderen vier abzuleiten. Alle scheiterten, wobei ihre Bemühungen viele gleichwertige Aussagen zutage förderten.

Im frühen 19. Jahrhundert zeigten Nikolai Lobatschewski (veröffentlicht 1829), János Bolyai und, im Privaten, Carl Friedrich Gauß, dass sich eine widerspruchsfreie Geometrie aufbauen lässt, in der das fünfte Postulat falsch ist. Bernhard Riemann entwickelte später weitere Arten gekrümmter Geometrie. Diese nichteuklidischen Geometrien bewiesen, dass das Postulat von den anderen unabhängig ist, und sie wurden später zur mathematischen Sprache von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie. Ironischerweise gilt Euklids Entscheidung, das Postulat als Annahme zu formulieren, statt vorzugeben, es zu beweisen, heute als Zeichen seiner logischen Einsicht.

Die Elemente werden oft als das erfolgreichste je geschriebene Lehrbuch bezeichnet und, nach der Bibel, als eines der am häufigsten übersetzten, veröffentlichten und studierten Bücher der Geschichte. In Europa blieben sie bis ins 20. Jahrhundert der Kern der mathematischen Ausbildung; die Redewendung „Euklid studieren“ bedeutete schlicht, Geometrie zu studieren.

Sein Einfluss reichte weit über die Mathematik hinaus. Denker, die seine Gewissheit bewunderten, versuchten, Philosophie, Ethik und Physik „nach geometrischer Art“ darzustellen: Spinozas Ethik ist als Definitionen, Axiome und Lehrsätze geschrieben, und Newtons Principia folgt einem ähnlichen Muster. Gedruckte Ausgaben inspirierten Renaissancekünstler wie Piero della Francesca, und Oliver Byrnes Ausgabe von 1847 ersetzte Buchstaben durch farbige Diagramme, um Lernenden zu helfen.

Euklids Name lebt weiter in der euklidischen Geometrie, dem euklidischen Algorithmus, dem euklidischen Satz über Primzahlen, einem Mondkrater und dem Euclid-Weltraumteleskop der Europäischen Weltraumorganisation, das 2023 gestartet wurde, um die Geometrie des dunklen Universums zu kartieren.

Der früheste sichere Hinweis auf Euklid findet sich im Vorwort zu Buch 1 der Kegelschnitte des Apollonios (frühes 2. Jahrhundert v. Chr.), das Euklids Behandlung des Orts auf drei und vier Geraden kritisiert. Archimedes und Apollonios setzen Lehrsätze der Elemente als bekannt voraus, was nahelegt, dass sie bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. in Umlauf waren, obwohl Archimedes eine ältere Proportionentheorie als Buch 5 verwendet. Eine einzelne Erwähnung Euklids in Archimedes' Über Kugel und Zylinder, auf die Proklos seine Datierung stützte, wurde von Johannes Hjelmslev als spätere Einfügung angesehen. Sichere Zitate der Elemente in zuverlässig datierten Werken beginnen erst mit Galen und Alexander von Aphrodisias im 2. Jahrhundert n. Chr.

Spätere Überlieferungen vermehrten die Verwirrung. Der römische Kompilator Valerius Maximus brachte Euklids Namen in eine Geschichte über Platon und die Verdopplung des Würfels, und mittelalterliche byzantinische und lateinische Autoren verwechselten den Mathematiker mit Euklid von Megara, einem Philosophen und Schüler des Sokrates ein Jahrhundert zuvor; die gedruckten Elemente von 1482 nennen ihn „Megarensis“. Renaissancegelehrte, vor allem Petrus Ramus, deckten den Irrtum auf. Mittelalterliche arabische Quellen geben ihm einen Vater namens Naukrates und einen Geburtsort in Tyros, Angaben, die Historiker für erfunden halten.

Angesichts der dünnen Beleglage stellte der Historiker Jean Itard drei Hypothesen auf: dass Euklid ein einzelner historischer Verfasser war; dass er in Alexandria ein Team leitete, dessen Mitglieder zu den Werken beitrugen und unter seinem Namen weiterschrieben; oder dass „Euklid“ ein kollektives Pseudonym war, wie „Nicolas Bourbaki“ für eine Gruppe von Mathematikern des 20. Jahrhunderts. Die meisten Historiker akzeptieren die erste Hypothese, erkennen aber an, dass Euklid stark auf Vorgänger zurückgriff und seine Schule die Texte mitgeprägt haben mag; stilistische Unterschiede zwischen den Büchern lassen sich durch seine Quellen erklären.

Die Elemente, die wir lesen, sind eine Rekonstruktion. Jahrhundertelang gingen alle griechischen Abschriften auf Theons Ausgabe aus dem 4. Jahrhundert zurück. 1808 entdeckte François Peyrard in der Vatikanischen Bibliothek eine Handschrift (Vat. gr. 190, im 10. Jahrhundert kopiert), die nicht von Theon abstammt; J. L. Heibergs kritische Ausgabe (1883–1888) behandelte sie als den authentischsten Zeugen, korrigierte sie aber anhand der anderen, und Thomas Heaths englische Übersetzung (1908) folgte Heiberg. Den arabischen Übersetzungen fehlen viele erklärende Zusätze, die in beiden griechischen Fassungen vorkommen, was Debatten darüber auslöste, ob sie einen früheren, schlankeren Text bewahren; die Frage bleibt offen.

Die Deutung wirft eigene Probleme auf. Die Vorstellung, Buch 2 enthalte eine „geometrische Algebra“, algebraische Identitäten in geometrischer Form, war im frühen 20. Jahrhundert Standard; seit den 1970er-Jahren haben Historiker wie Sabetai Unguru sie als anachronistisch kritisiert und argumentiert, griechische Größen, Verhältnisse und Zahlen müssten aus sich selbst heraus verstanden werden. Ähnliche Vorsicht gilt für die Lesart von Buch 5 als Theorie der reellen Zahlen oder von Buch 10 als Abhandlung über irrationale Zahlen im modernen Sinn.

Schließlich sind die Elemente nicht logisch lückenlos. Euklid verlässt sich oft darauf, was Zeichnungen zeigen, etwa dass sich die beiden in Lehrsatz 1 von Buch 1 gezeichneten Kreise tatsächlich schneiden, oder auf unausgesprochene Annahmen über Reihenfolge und Zwischenlage. Im späten 19. Jahrhundert entdeckte Moritz Pasch solche Lücken, und David Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) lieferte ein vollständiges Axiomensystem; Alfred Tarski gab später ein weiteres, und 2017 nutzten Michael Beeson und Kollegen Computer-Beweisassistenten, um die Lehrsätze von Buch 1 gegen ein euklidähnliches Axiomensystem zu prüfen. Manche neueren Forscher argumentieren, Euklids diagrammatisches Schließen folge eigenen konsistenten Regeln, statt bloß ein Versehen zu sein.