Al-Khwarizmi

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi était un mathématicien, astronome et géographe qui travailla à Bagdad dans la première moitié du IXe siècle. Bagdad était alors la capitale du califat abbasside, un empire qui s'étendait de l'Afrique du Nord à l'Asie centrale, et l'une des plus grandes et des plus riches villes du monde. Son nom nous apprend trois choses : son propre nom était Muhammad, son père s'appelait Musa, et lui-même ou sa famille venaient du Khwarezm, une région fertile sur le cours inférieur de l'Amou-Daria, au sud de la mer d'Aral.

Il est célèbre pour quatre livres. Le premier expliquait comment résoudre des équations et donna son nom à l'algèbre. Le second enseignait comment calculer avec les chiffres décimaux indiens, y compris le zéro ; son titre latin commençait par son nom et nous a donné le mot algorithme. Le troisième était un ensemble de tables astronomiques pour prédire les positions du Soleil, de la Lune et des planètes. Le quatrième était une géographie répertoriant les latitudes et longitudes de plus de deux mille lieux.

Aucun de ces livres ne fut écrit uniquement pour des spécialistes. Al-Khwarizmi disait avoir écrit son algèbre pour expliquer ce qui était « le plus facile et le plus utile » en calcul, le genre de choses dont les gens avaient besoin pour les héritages, les legs, le partage des biens, les procès et le commerce. Ce style pratique et clair explique en partie pourquoi ses livres furent copiés, étudiés et traduits pendant des siècles.

Bagdad fut fondée en 762 par le calife abbasside al-Mansur comme nouvelle capitale circulaire sur le Tigre. Marchands, savants et fonctionnaires y venaient d'Arabie, de Perse, d'Asie centrale, d'Inde et des anciennes terres de langue grecque. Le papier, récemment répandu dans le monde islamique, rendait les livres moins coûteux à produire que jamais.

Les souverains abbassides finançaient la traduction en arabe d'œuvres scientifiques et philosophiques venues du grec, du syriaque, du persan et du sanskrit. Vers le début des années 770, un texte astronomique indien fut apporté à la cour d'al-Mansur et traduit. Sous le calife al-Ma'mun (813-833), qui avait un fort intérêt personnel pour la science, la traduction et la recherche furent soutenues à grande échelle. L'arabe devint la langue commune de la science, de l'Espagne à l'Asie centrale.

Al-Khwarizmi est traditionnellement associé au Bayt al-Ḥikma, la « Maison de la Sagesse », une bibliothèque de palais et centre de savoir à Bagdad. Des récits ultérieurs disent qu'il y fut astronome et même qu'il dirigea sa bibliothèque. Il dédia à la fois son algèbre et ses tables astronomiques à al-Ma'mun, ce qui montre qu'il travaillait près de la cour du calife.

On sait très peu de choses avec certitude sur la vie d'al-Khwarizmi. Aucune biographie écrite par une personne qui l'a connu n'a survécu. Nos principales informations viennent d'une courte entrée du Fihrist, un catalogue de livres arabes compilé par le libraire de Bagdad Ibn al-Nadim à la fin du Xe siècle, de quelques mentions par l'historien al-Tabari, et des préfaces de ses propres livres.

Son année de naissance est généralement donnée comme environ 780 et sa mort comme environ 850, mais ce sont des estimations. La plupart de ses travaux datables furent réalisés entre 813 et 833, durant le règne d'al-Ma'mun. Un rapport dit que sous un calife plus tardif, al-Wathiq (r. 842-847), il participa à une ambassade auprès des Khazars, un peuple vivant au nord du Caucase ; ceci est incertain.

Il écrivait en arabe, bien qu'il fût d'origine perse ou khwarezmienne. La préface de son algèbre s'ouvre par des louanges islamiques à Dieu et au Prophète, ce qui montre qu'il se présentait comme musulman. Au-delà de ces points, une grande partie de ce que l'on dit parfois de lui – ses maîtres, sa famille, son travail quotidien – n'est pas confirmée par les sources anciennes.

Son œuvre la plus célèbre est al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala, « L'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison », écrit à Bagdad vers 820 à l'instigation d'al-Ma'mun. C'est le plus ancien livre conservé qui traite la résolution des équations comme un sujet en soi plutôt que comme une collection de problèmes isolés.

Al-Khwarizmi travaillait avec trois types de quantités : les « nombres » (ce que nous appellerions des constantes), les « racines » (l'inconnue, aussi appelée shayʾ, « chose ») et les « carrés » (l'inconnue multipliée par elle-même). Il montra que tout problème linéaire ou quadratique à termes positifs peut se ramener à l'un de six types standards : des carrés égalent des racines ; des carrés égalent des nombres ; des racines égalent des nombres ; des carrés et des racines égalent des nombres ; des carrés et des nombres égalent des racines ; et des racines et des nombres égalent des carrés. Pour chaque type, il donnait une règle pour trouver la réponse.

Deux opérations ramènent un problème à la forme standard. Al-jabr, « restauration », supprime une quantité soustraite en l'ajoutant des deux côtés : en notation moderne, x² = 40x − 4x² devient 5x² = 40x. Al-muqābala, « comparaison », supprime la même quantité des deux côtés : x² + 14 = x + 5 devient x² + 9 = x. Le premier de ces mots, transposé en latin en algebra, donna son nom à toute la discipline.

Fait crucial, al-Khwarizmi n'utilisait aucun symbole. Tout, y compris les nombres, est écrit en toutes lettres. Son exemple célèbre demande un nombre dont le carré plus dix fois lui-même égale trente-neuf, et il le résout en « complétant le carré ». Il prouve ensuite la règle par une figure géométrique : un carré est entouré de rectangles, et de petits carrés d'angle sont ajoutés jusqu'à compléter un carré plus grand. La réponse, trois, peut être lue directement sur le schéma.

Le livre se poursuit avec des règles pour multiplier et manipuler des expressions, une section sur le calcul des aires et des volumes (donnant trois approximations de π, dont 3 1/7 et 3,1416), et une longue partie finale – environ la moitié du livre – appliquant l'arithmétique et des équations simples au droit islamique des successions, qui répartit un héritage entre de nombreux ayants droit selon des parts fixes.

Al-Khwarizmi écrivit aussi un traité, rédigé vers 825, expliquant comment calculer avec les neuf chiffres indiens et un signe pour le zéro dans un système positionnel – le système que nous appelons aujourd'hui les chiffres indo-arabes. Il couvrait l'écriture des nombres, l'addition, la soustraction, le doublement, la division par deux, la multiplication et la division, et semble-t-il aussi les racines carrées. Les calculs se faisaient sur une planche à poussière (takht), un plateau couvert de sable fin sur lequel on pouvait écrire des chiffres et les effacer rapidement.

L'original arabe est perdu. Ce qui survit, ce sont des adaptations latines du XIIe siècle, dont aucune n'est une traduction littérale. La plus connue commence par Dixit Algorizmi – « Al-Khwarizmi a dit » – et est conservée dans un unique manuscrit à Cambridge ; elle fut imprimée en 1857 sous le titre Algoritmi de numero Indorum. D'autres œuvres latines, comme le Liber Ysagogarum Alchorismi et le Liber Alchoarismi de practica arismetice, développèrent aussi ses méthodes.

En latin, le nom d'al-Khwarizmi devint Algorismus ou Algoritmi. « Algorisme » en vint à désigner la nouvelle façon de calculer avec des chiffres écrits, par opposition à l'ancien abaque ; le mot anglais apparaît déjà au début du XIIIe siècle. Plus tard, sous l'influence du grec arithmos (« nombre »), il fut remodelé en algorithmus, et l'anglais « algorithm » est attesté dès la fin du XVIe siècle. Aujourd'hui, le mot désigne toute procédure précise et étape par étape, en particulier celle exécutée par un ordinateur.

Le mot espagnol guarismo et le portugais algarismo, tous deux signifiant « chiffre », viennent aussi de son nom. Ainsi le nom d'un seul savant voyagea de l'Asie centrale à Bagdad, de Bagdad à l'Espagne et à l'Europe latine, et enfin jusque dans le vocabulaire de l'informatique moderne.

Un zīj est un manuel d'astronomie : un ensemble de tables, accompagnées d'instructions, pour calculer les positions du Soleil, de la Lune et des planètes, les moments des éclipses, la visibilité de la nouvelle lune et les dates du calendrier. Le Zīj al-Sindhind d'al-Khwarizmi est l'une des plus anciennes œuvres arabes de ce type. Selon la description qui subsiste, il comptait environ 37 chapitres et 116 tables, dont une table des sinus.

Son nom, Sindhind, vient du mot sanskrit siddhānta, désignant un traité d'astronomie. Les mouvements moyens des planètes dans ses tables dérivent de l'astronomie indienne, en particulier du Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta, qui avait été traduit à la cour abbasside des décennies plus tôt. Il utilisa aussi des données persanes et quelques éléments ptolémaïques. Ce mélange montre comment les savants de Bagdad combinaient des traditions qui s'étaient développées séparément.

Le texte arabe original est perdu. Il survit dans une révision réalisée vers l'an 1000 par l'astronome andalou Maslama al-Majriti, qui fut traduite en latin au XIIe siècle, très probablement par Adélard de Bath (une date de 1126 est associée à cette traduction). Quatre manuscrits de la version latine sont connus. Al-Khwarizmi écrivit aussi sur l'astrolabe et le cadran solaire, sur la recherche de la direction de La Mecque, et sur le calendrier juif et son cycle de 19 ans.

Le Kitāb ṣūrat al-arḍ d'al-Khwarizmi, « Le Livre de l'image de la Terre », fut achevé en 833. C'est une refonte complète de la Géographie de Claude Ptolémée, du IIe siècle. Après une courte introduction, il liste les coordonnées de 2 402 lieux – villes, montagnes, mers, îles et fleuves – organisés par zones climatiques (bandes de latitude) et, dans chaque zone, par longitude.

Il ne se contenta pas de copier Ptolémée. Il corrigea la grande surestimation par Ptolémée de la longueur de la mer Méditerranée, la faisant passer d'environ 63 degrés de longitude à près de 50, et il représenta les océans Atlantique et Indien comme des eaux ouvertes plutôt que comme des mers fermées. Ses données pour les terres islamiques, l'Afrique et l'Asie étaient généralement meilleures que celles de Ptolémée, tandis que pour l'Europe il s'appuyait davantage sur les matériaux plus anciens.

Un seul manuscrit arabe de l'œuvre survit, aujourd'hui à Strasbourg, et il ne contient aucune carte du monde. Au XXe siècle, le chercheur Hubert Daunicht reporta les coordonnées sur du papier millimétré et reconstitua les côtes, les fleuves et les villes que la carte perdue devait montrer. On rapporte aussi qu'al-Khwarizmi participa aux projets d'al-Ma'mun visant à mesurer la Terre et à produire une carte du monde.

Dans le monde islamique, l'algèbre d'al-Khwarizmi lança une longue tradition. Des mathématiciens ultérieurs comme Abu Kamil en Égypte écrivirent leurs propres livres portant le même titre, prolongeant ses méthodes ; des siècles plus tard, Omar Khayyam résolut des équations cubiques par la géométrie dans un traité qui appartient lui aussi à cette lignée. Son méridien d'origine et ses coordonnées furent utilisés par de nombreux géographes musulmans ultérieurs.

Au XIIe siècle, des savants d'Espagne et d'ailleurs traduisirent la science arabe en latin. Robert de Chester traduisit l'algèbre à Ségovie en 1145, et Gérard de Crémone en fit une autre version. L'algèbre resta un manuel mathématique de référence dans les universités européennes jusqu'au XVIe siècle. Les textes d'arithmétique répandirent les chiffres indo-arabes en Europe ; des auteurs plus tardifs, dont Léonard de Pise (Fibonacci), s'appuyèrent sur cette tradition.

En 1831, Frederic Rosen publia la première traduction anglaise de l'algèbre, fondée sur l'unique manuscrit arabe conservé à Oxford. Un cratère sur la face cachée de la Lune et deux astéroïdes portent le nom d'al-Khwarizmi, et il est largement commémoré en Iran, en Ouzbékistan et dans le monde arabe.

La chronique d'al-Tabari donne le nom Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī al-Majūsī al-Quṭrubbullī. L'historien des sciences G. J. Toomer a interprété al-Majūsī (« le mage », c'est-à-dire zoroastrien) comme suggérant une ascendance zoroastrienne, et al-Quṭrubbullī comme renvoyant à Qutrubbul, un district près de Bagdad. Puisque la préface de l'algèbre est pieusement musulmane, Toomer a suggéré que l'épithète pourrait décrire ses ancêtres ou sa jeunesse.

Roshdi Rashed a rejeté cette lecture. Il a soutenu que le passage nommait à l'origine deux personnes différentes – « al-Khwārizmī et al-Majūsī al-Quṭrubbullī » – et que le mot arabe wa (« et ») avait disparu dans une copie ancienne. Selon cette interprétation, les épithètes ne nous apprennent rien sur al-Khwarizmi. D'autres chercheurs, comme David A. King, ont accepté le lien avec Qutrubbul. Ce désaccord montre à quel point la biographie dépend de l'interprétation d'une seule tradition manuscrite.

Une autre hypothèse, avancée par D. M. Dunlop, est qu'al-Khwarizmi pourrait être identique à Muḥammad ibn Mūsā ibn Shākir, l'aîné des frères Banū Mūsā, qui étaient eux aussi d'éminents scientifiques à Bagdad. Cette identification n'est pas largement acceptée. L'affirmation la plus sûre est que nous disposons d'un petit nombre de rapports tardifs et des propres préfaces de l'auteur, et que les récits populaires comblent souvent les lacunes par l'invention.

Les historiens sont en profond désaccord sur les sources et l'originalité de l'algèbre d'al-Khwarizmi. Des scribes babyloniens avaient résolu des problèmes quadratiques deux mille ans plus tôt, Diophante d'Alexandrie avait écrit l'Arithmétique, et des mathématiciens indiens comme Brahmagupta disposaient de règles pour les équations quadratiques et utilisaient des nombres négatifs et une notation abrégée. Al-Khwarizmi, au contraire, écrivait entièrement en mots et évitait les quantités négatives.

Certains chercheurs, dont Toomer et Rashed, pensent que les preuves géométriques montrent une familiarité avec les Éléments d'Euclide, en particulier le Livre II, que son collègue de Bagdad al-Hajjaj avait traduit. Solomon Gandz a soutenu le contraire : l'algèbre ne contient ni définitions, ni axiomes, ni démonstrations de style euclidien, et sa géométrie est plus proche du mesurage pratique. Gandz, et plus tard Karen Parshall, ont souligné des parallèles avec le Mishnat ha-Middot, un texte géométrique hébreu, bien que la date de ce texte soit elle-même débattue.

Les opinions sur son apport varient largement. Gandz jugeait qu'il méritait davantage que Diophante le titre de « père de l'algèbre », parce qu'il enseignait l'algèbre « sous une forme élémentaire et pour elle-même ». Rashed a souligné la nouveauté consistant à traiter l'équation elle-même, classée de manière exhaustive, comme objet d'étude. Carl Boyer a noté que son œuvre était plus élémentaire et plus « rhétorique » que celle de Diophante ou de Brahmagupta, mais plus proche en esprit de l'algèbre élémentaire moderne. Toomer, à l'inverse, jugeait ses mathématiques en elles-mêmes assez modestes, tout en reconnaissant leur immense influence.

Une manière utile de cadrer le débat consiste à séparer les techniques de l'organisation. De nombreuses techniques individuelles existaient avant lui ; ce qui était nouveau, c'était un cadre systématique et transmissible – formes standards, opérations générales et preuves – présenté dans une langue devenue le médium international de la science. C'est l'influence de ce cadre, plutôt qu'une découverte isolée, qui explique sa place dans l'histoire des mathématiques.

Les œuvres d'al-Khwarizmi nous sont parvenues de manière très inégale. L'algèbre existe en arabe, dans un manuscrit unique à Oxford utilisé par Rosen, et dans des versions latines médiévales (une copie latine se trouve à Cambridge). L'arithmétique ne survit que dans des adaptations latines qui divergent de l'original perdu, si bien que reconstituer ce qu'il a lui-même écrit exige de comparer plusieurs textes latins. Le Zīj ne survit qu'à travers la révision d'al-Majriti en latin. La géographie survit dans un seul manuscrit arabe à Strasbourg. D'autres œuvres courtes sur les cadrans solaires, l'astrolabe et la qibla sont conservées dans des manuscrits à Berlin, Istanbul, Tachkent, Le Caire et Paris ; certaines attributions sont incertaines.

Son Kitāb al-taʾrīkh, un livre d'annales, est perdu, mais il fut cité au XIe siècle par l'évêque syriaque Élie de Nisibe. Cela nous rappelle que ses contemporains le connaissaient aussi comme historien et chronologiste, et pas seulement comme mathématicien.

Le rôle de la Maison de la Sagesse mérite lui aussi la prudence. Des auteurs des XIXe et XXe siècles l'ont souvent décrite comme une grande académie ou université dotée de départements de recherche. Certains historiens récents soutiennent que les sources anciennes décrivent quelque chose de plus modeste – une bibliothèque de palais et un lieu où travaillaient des savants – et que l'image plus grandiose est une projection tardive. Le lien d'al-Khwarizmi avec la cour du calife est clair d'après ses dédicaces ; le cadre institutionnel précis est moins certain.