Euclide

Euclide était un mathématicien grec de l’Antiquité, souvent appelé le « père de la géométrie ». Il vécut et enseigna à Alexandrie, la ville d’Égypte fondée par Alexandre le Grand et gouvernée par les rois ptolémaïques de langue grecque. On le situe généralement vers 300 av. J.-C.

Il est célèbre avant tout pour un seul livre : les Éléments. Il y rassembla la géométrie et l’arithmétique que les mathématiciens grecs avaient développées au cours des siècles précédents, et les organisa en une seule chaîne logique, où chaque résultat est démontré à partir des précédents. Beaucoup de ses théorèmes avaient été découverts par d’autres, mais l’organisation, une grande partie des démonstrations et la conception d’ensemble en firent le manuel de référence des mathématiques pendant plus de deux mille ans.

Avec Archimède et Apollonios de Perga, Euclide est généralement classé parmi les plus grands mathématiciens de l’Antiquité. Aujourd’hui, la « géométrie euclidienne » désigne la géométrie ordinaire de l’espace plat que la plupart des gens apprennent à l’école.

Presque rien n’est certain sur la vie d’Euclide. Aucun auteur de son époque ne le décrit, et aucun portrait fait de son vivant n’existe ; les images d’Euclide dans l’art postérieur sont imaginaires. L’essentiel de ce que l’on rapporte à son sujet vient de deux érudits qui vécurent six ou sept siècles plus tard : Pappus d’Alexandrie (début du IVe siècle apr. J.-C.) et Proclus (Ve siècle apr. J.-C.).

Proclus dit qu’Euclide vécut après les disciples de Platon et avant Archimède, à l’époque du premier roi Ptolémée. Cela le situe à peu près vers 300 av. J.-C. Pappus mentionne que le mathématicien Apollonios, plus tardif, étudia auprès des élèves d’Euclide à Alexandrie, ce qui laisse penser qu’Euclide y avait fondé une école de mathématiques. On suppose souvent qu’il avait étudié à Athènes auprès des disciples de Platon, car son œuvre s’appuie sur la géométrie du cercle de Platon, mais ce n’est qu’une hypothèse.

Deux histoires célèbres sont racontées à son sujet. Dans l’une, le roi Ptolémée demande un raccourci vers la géométrie, et Euclide répond qu’« il n’y a pas de voie royale vers la géométrie ». Dans l’autre, un élève demande ce qu’il gagnera à apprendre la géométrie, et Euclide dit à un serviteur de lui donner une pièce, « puisqu’il doit tirer profit de ce qu’il apprend ». Ces deux histoires furent écrites des siècles plus tard, et une version presque identique de la première est racontée à propos d’un autre mathématicien et d’Alexandre le Grand, si bien que les historiens les considèrent comme des légendes.

Alexandrie fut fondée en 331 av. J.-C. Après la mort d’Alexandre, son général Ptolémée prit le contrôle de l’Égypte, et à partir d’environ 306 av. J.-C. son règne apporta une stabilité rare dans les guerres entre successeurs d’Alexandre. Les Ptolémées firent construire de grandes institutions, dont le Musée (« sanctuaire des Muses »), un centre de recherche et d’enseignement, et la célèbre Bibliothèque.

Des savants venus de tout le monde grec furent attirés à Alexandrie. Euclide est souvent imaginé comme l’un des premiers savants du Musée, bien qu’aucune source antique ne le dise directement. Ce qui est certain, c’est qu’Alexandrie devint pendant des siècles le principal centre des mathématiques et des sciences grecques, où travaillèrent plus tard des figures comme Ératosthène, Héron, Ptolémée l’astronome, Pappus et Théon.

Euclide se situe ainsi à un point de rencontre : il hérita des mathématiques développées à Athènes par la génération de Platon et d’Aristote, et son œuvre devint le fondement de la tradition alexandrine qui suivit.

Les Éléments (en grec Stoicheia) sont divisés en treize « livres », qui ressemblent plutôt à de longs chapitres. Les livres 1 à 6 traitent de géométrie plane : triangles, droites parallèles, aires, cercles, polygones réguliers et figures semblables. Le livre 5 présente une théorie générale du rapport et de la proportion, probablement fondée sur les travaux d’Eudoxe de Cnide.

Les livres 7 à 9 portent sur les nombres entiers : divisibilité, nombres premiers et nombres en proportion continue. Le livre 10, le plus long et le plus difficile, classe les longueurs incommensurables (ce que l’on appellerait aujourd’hui des longueurs irrationnelles). Les livres 11 à 13 passent à la géométrie dans l’espace et s’achèvent par la construction des cinq solides réguliers (le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre) et la démonstration qu’il n’en existe pas d’autres.

Deux autres livres, 14 et 15, furent ajoutés dans beaucoup de copies postérieures mais furent écrits par d’autres auteurs ; le livre 14 est attribué à Hypsiclès. Les Éléments ne contiennent aucune introduction, aucune remarque historique, presque rien de personnel : c’est une suite de définitions, d’hypothèses, d’énoncés et de démonstrations, chacun avec sa figure.

Le livre 1 s’ouvre sur 23 définitions, comme « un point est ce qui n’a pas de partie » et « une ligne est une longueur sans largeur ». Suivent cinq postulats et cinq notions communes. Les postulats autorisent les constructions de base de la géométrie à la règle et au compas : tracer une droite entre deux points, prolonger une droite, tracer un cercle de centre et de rayon quelconques ; ils affirment aussi que tous les angles droits sont égaux. Les notions communes sont des vérités générales sur les grandeurs, comme « des choses égales à une même chose sont égales entre elles » et « le tout est plus grand que la partie ».

Tout le reste est une proposition : soit un problème (une construction à réaliser), soit un théorème (un énoncé à démontrer). Chaque proposition est formulée en termes généraux, illustrée par une figure, démontrée étape par étape en n’utilisant que ce qui a été établi auparavant, et conclue par une formule ; les traductions latines la rendirent plus tard par « ce qu’il fallait démontrer » (quod erat demonstrandum, QED).

Cette structure axiomatico-déductive, où tout un domaine se développe à partir d’un petit ensemble de points de départ explicitement énoncés, est l’héritage le plus durable d’Euclide. Des auteurs postérieurs, en philosophie, en physique et en mathématiques, en empruntèrent sans cesse la forme. Aristote avait déjà discuté des premiers principes et de la démonstration, et le vocabulaire d’Euclide fait écho à ces discussions, mais les Éléments sont le plus ancien exemple conservé à grande échelle de la méthode mise en pratique.

Le livre 1 s’achève par le théorème de Pythagore (proposition 47) et sa réciproque (48). C’est la plus ancienne démonstration conservée de ce théorème, fondée sur une figure parfois surnommée le « moulin à vent » ou la « chaise de la mariée ». Plus tôt dans le même livre, la proposition 5 (les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux) devint connue dans l’Europe médiévale sous le nom de pons asinorum, le « pont aux ânes », que les élèves les plus faibles ne parvenaient pas à franchir.

Le livre 7 commence par la procédure aujourd’hui appelée algorithme d’Euclide : pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, on soustrait (ou on divise) répétitivement le plus petit du plus grand jusqu’à ce que le reste soit nul. C’est l’un des plus anciens algorithmes encore utilisés couramment, y compris en cryptographie informatique. La proposition 20 du livre 9 démontre qu’il y a plus de nombres premiers que n’importe quel nombre donné, autrement dit que les nombres premiers ne s’arrêtent jamais, avec un raisonnement encore enseigné aujourd’hui.

La proposition 11 du livre 2, puis d’autres propositions, construisent la division d’une droite en « extrême et moyenne raison », appelée aujourd’hui le nombre d’or, utilisée pour construire le pentagone régulier, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Le livre 12 utilise la méthode d’exhaustion, ancêtre du calcul intégral, pour montrer, par exemple, qu’un cône vaut le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

Euclide écrivit bien plus que les Éléments. Les Données expliquent ce que l’on peut déduire lorsque certains éléments d’une figure sont « donnés », une sorte de guide de résolution de problèmes. L’Optique est le plus ancien traité grec conservé sur la perspective : il traite la vision comme des lignes droites (des rayons visuels) partant de l’œil en formant un cône, et démontre par exemple pourquoi les objets plus éloignés paraissent plus petits. Les Phénomènes appliquent la géométrie sphérique à l’astronomie, en décrivant les mouvements du ciel vus depuis la Terre.

Sur les divisions de figures, qui ne survit que partiellement dans une traduction arabe, traite de la découpe de figures en parties selon des rapports donnés. Les Catoptriques, sur les miroirs, lui sont attribuées, mais de nombreux spécialistes en doutent.

Plusieurs œuvres sont perdues et connues seulement par des descriptions postérieures : les Coniques, un traité en quatre livres sur les sections coniques, plus tard dépassé par celui d’Apollonios ; les Porismes, un recueil d’environ deux cents propositions d’un genre particulier ; les Pseudaria, un livre sur les sophismes géométriques destiné à aider les débutants à éviter les erreurs ; et les Lieux à la surface.

Le plus ancien témoignage des Éléments est un ensemble de six ostraca (fragments de poterie inscrits) provenant d’Éléphantine, en Égypte, datant du IIIe siècle av. J.-C., traitant de propositions du livre 13. Le plus ancien papyrus conservé de son texte, le Papyrus Oxyrhynchus 29, date d’environ 75–125 apr. J.-C. Au IVe siècle apr. J.-C., Théon d’Alexandrie prépara une édition qui devint la base de presque tous les manuscrits grecs postérieurs.

Vers 800 apr. J.-C., sous le calife Harun al-Rashid, al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar traduisit les Éléments en arabe ; une traduction ultérieure d’Ishaq ibn Hunayn fut révisée par Thabit ibn Qurra. Les mathématiciens du monde islamique étudièrent, commentèrent et prolongèrent l’œuvre, y compris par des tentatives de démontrer le postulat des parallèles. Vers 1120, le moine anglais Adélard de Bath la traduisit de l’arabe vers le latin, et la version latine de Campanus de Novare, au XIIIe siècle, devint la référence en Occident.

La première édition imprimée, par Erhard Ratdolt à Venise en 1482, fut l’un des tout premiers livres de mathématiques jamais imprimés ; plus de mille éditions ont suivi depuis. La première traduction anglaise, par Henry Billingsley avec une préface de John Dee, parut en 1570. En 1607, le jésuite Matteo Ricci et le lettré Xu Guangqi publièrent une traduction chinoise des six premiers livres, le Jihe yuanben, qui fit connaître la géométrie euclidienne en Asie de l’Est et donna au chinois le mot jihe pour désigner la géométrie.

Le cinquième postulat d’Euclide dit, en substance, que si une droite qui en coupe deux autres forme, d’un côté, des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites, prolongées suffisamment loin, se rencontreront de ce côté-là. Cela équivaut à dire que, par un point extérieur à une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite. Comparé aux autres postulats, il est long et n’est pas évident en soi, et Euclide évite de s’en servir jusqu’à la proposition 29 du livre 1.

Pendant deux mille ans, des mathématiciens, dont Ptolémée, Proclus, Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, puis plus tard des Européens comme Saccheri, tentèrent de le démontrer à partir des quatre autres. Tous échouèrent, bien que leurs efforts aient mis au jour de nombreux énoncés équivalents.

Au début du XIXe siècle, Nikolaï Lobatchevski (publié en 1829), János Bolyai et, en privé, Carl Friedrich Gauss montrèrent qu’on pouvait construire une géométrie cohérente dans laquelle le cinquième postulat est faux. Bernhard Riemann développa plus tard d’autres types de géométries courbes. Ces géométries non euclidiennes prouvèrent que le postulat est indépendant des autres, et elles devinrent plus tard le langage mathématique de la relativité générale d’Einstein. Ironiquement, la décision d’Euclide d’énoncer ce postulat comme une hypothèse, plutôt que de prétendre le démontrer, est aujourd’hui considérée comme une marque de sa clairvoyance logique.

Les Éléments sont souvent présentés comme le manuel le plus réussi jamais écrit et, après la Bible, comme l’un des livres les plus traduits, publiés et étudiés de l’histoire. En Europe, ils restèrent le cœur de l’enseignement des mathématiques jusqu’au XXe siècle ; l’expression « étudier Euclide » signifiait simplement étudier la géométrie.

Son influence dépassa largement les mathématiques. Des penseurs admiratifs de sa certitude essayèrent de présenter la philosophie, l’éthique et la physique « à la manière géométrique » : l’Éthique de Spinoza est écrite sous forme de définitions, d’axiomes et de propositions, et les Principia de Newton suivent un schéma semblable. Les éditions imprimées inspirèrent des artistes de la Renaissance comme Piero della Francesca, et l’édition d’Oliver Byrne de 1847 remplaça les lettres par des diagrammes en couleurs pour aider les apprenants.

Le nom d’Euclide perdure dans la géométrie euclidienne, l’algorithme d’Euclide, le théorème d’Euclide sur les nombres premiers, un cratère lunaire et le télescope spatial Euclid de l’Agence spatiale européenne, lancé en 2023 pour cartographier la géométrie de l’univers sombre.

La première référence solide à Euclide se trouve dans la préface du livre 1 des Coniques d’Apollonios (début du IIe siècle av. J.-C.), qui critique le traitement par Euclide du lieu à trois et quatre lignes. Archimède et Apollonios tiennent pour acquises des propositions des Éléments, ce qui suggère que l’œuvre circulait déjà au IIIe siècle av. J.-C., bien qu’Archimède utilise une théorie de la proportion plus ancienne que celle du livre 5. Une unique mention d’Euclide dans le traité d’Archimède De la sphère et du cylindre, sur laquelle Proclus fonda sa datation, a été jugée par Johannes Hjelmslev comme un ajout postérieur. Des citations fermes des Éléments dans des œuvres datées avec certitude ne commencent qu’avec Galien et Alexandre d’Aphrodise, au IIe siècle apr. J.-C.

Les traditions ultérieures multiplièrent la confusion. Le compilateur romain Valère Maxime plaça le nom d’Euclide dans une histoire concernant Platon et la duplication du cube, et des auteurs byzantins et latins médiévaux confondirent le mathématicien avec Euclide de Mégare, un philosophe et disciple de Socrate un siècle plus tôt ; l’édition imprimée des Éléments de 1482 l’appelle « Megarensis ». Des savants de la Renaissance, notamment Pierre de la Ramée, dénoncèrent cette erreur. Des sources arabes médiévales lui donnent un père, Naucratès, et une ville natale, Tyr, des détails que les historiens considèrent comme inventés.

Étant donné la maigreur des preuves, l’historien Jean Itard proposa trois hypothèses : qu’Euclide fut un seul auteur historique ; qu’il dirigea une équipe à Alexandrie dont les membres contribuèrent aux œuvres et continuèrent à écrire sous son nom ; ou qu’« Euclide » fut un pseudonyme collectif, comme « Nicolas Bourbaki » le fut pour un groupe de mathématiciens du XXe siècle. La plupart des historiens retiennent la première hypothèse, tout en reconnaissant qu’Euclide s’appuya beaucoup sur ses prédécesseurs et que son école a pu façonner les textes ; les différences de style entre les livres peuvent s’expliquer par ses sources.

Les Éléments que nous lisons sont une reconstitution. Pendant des siècles, toutes les copies grecques descendirent de l’édition de Théon, au IVe siècle. En 1808, François Peyrard identifia à la Bibliothèque vaticane un manuscrit (Vat. gr. 190, copié au Xe siècle) qui ne dérive pas de Théon ; l’édition critique de J. L. Heiberg (1883–1888) le traita comme le témoin le plus authentique tout en le corrigeant à l’aide des autres manuscrits, et la traduction anglaise de Thomas Heath (1908) suivit Heiberg. Les traductions arabes manquent de nombreux ajouts explicatifs présents dans les deux versions grecques, ce qui a suscité un débat pour savoir si elles conservent un texte plus ancien et plus dépouillé ; la question reste ouverte.

L’interprétation pose ses propres problèmes. L’idée que le livre 2 contient une « algèbre géométrique », des identités algébriques habillées sous une forme géométrique, était courante au début du XXe siècle ; depuis les années 1970, des historiens comme Sabetai Unguru l’ont critiquée comme anachronique, faisant valoir que les grandeurs, les rapports et les nombres grecs doivent être compris selon leurs propres termes. Des précautions semblables s’appliquent à la lecture du livre 5 comme théorie des nombres réels ou du livre 10 comme traité sur les nombres irrationnels au sens moderne.

Enfin, les Éléments ne sont pas logiquement irréprochables. Euclide s’appuie souvent sur ce que montrent les figures, par exemple que deux cercles tracés dans la proposition 1 du livre 1 se coupent effectivement, ou sur des hypothèses non énoncées concernant l’ordre et l’intermédiarité des points. À la fin du XIXe siècle, Moritz Pasch releva de telles lacunes, et les Fondements de la géométrie (1899) de David Hilbert fournirent un système d’axiomes complet ; Alfred Tarski en donna plus tard un autre, et en 2017 Michael Beeson et ses collègues utilisèrent des assistants de preuve informatiques pour vérifier les propositions du livre 1 par rapport à un ensemble d’axiomes de type euclidien. Certains chercheurs récents soutiennent que le raisonnement diagrammatique d’Euclide suit ses propres règles cohérentes plutôt que d’être une simple faiblesse.