Aryabhata

Aryabhata, souvent appelé Aryabhata Ier pour le distinguer d’un astronome postérieur du même nom, est le plus ancien mathématicien-astronome indien dont l’œuvre nous soit parvenue en entier. Il est l’auteur de l’Āryabhaṭīya, un traité compact en vers sanskrits qui a façonné l’astronomie indienne pendant plus de mille ans.

Presque tout ce que nous savons de sa vie provient de quelques lignes de son propre livre et de remarques de commentateurs plus tardifs. Dans le troisième chapitre, il dit que lorsque 3 600 années du Kali Yuga, l’âge actuel dans la cosmologie indienne, se sont écoulées, il avait 23 ans. Cette année correspond à 499 apr. J.-C., ce qui signifie qu’il naquit en 476. Certains chercheurs pensent que 499 est l’année où il écrivit le livre ; d’autres pensent qu’il s’agit simplement d’un point de référence astronomique qu’il choisit.

Son nom s’écrit correctement Aryabhata, et non « Aryabhatta ». Des astronomes postérieurs, comme Brahmagupta, le mentionnent par son nom à de nombreuses reprises, et l’orthographe avec un seul « t » correspond aussi au mètre du vers sanskrit.

Aucun portrait d’Aryabhata n’existe. Les statues et images réalisées à l’époque moderne, comme la statue du Centre inter-universitaire d’astronomie et d’astrophysique de Pune, sont des œuvres d’imagination.

La valeur de position. Dans son chapitre de mathématiques, Aryabhata nomme les puissances de dix depuis « un » (eka) jusqu’à « mille millions » (vṛnda) et affirme que « d’une position à l’autre, chacune vaut dix fois la précédente ». C’est un énoncé clair de la numération décimale de position, et ses règles pour les racines carrées et cubiques opèrent chiffre par chiffre dans un tel système. Pourtant, dans le livre lui-même, il écrivit les nombres en toutes lettres : des noms de nombre ordinaires pour les petits nombres et, pour les grandes constantes du premier chapitre, un code de son invention dans lequel des syllabes sanskrites représentent des nombres, afin qu’ils tiennent dans le vers.

Le zéro. L’Āryabhaṭīya ne comporte aucun symbole du zéro et ne donne aucune règle pour additionner, soustraire ou multiplier avec le zéro. En expliquant son code syllabique, il emploie le mot kha, « espace », pour les positions d’un nombre ; ce même mot devint plus tard l’un des termes sanskrits les plus courants pour désigner le zéro. Les historiens ne s’accordent pas sur ce qu’il savait. Georges Ifrah, cité par MacTutor, jugeait « extrêmement probable » qu’il connaissait un signe pour le zéro, tandis que son traducteur anglais, Walter Eugene Clark, écrivait que l’usage d’un tel signe à son époque était « encore discuté ». Ce qui est certain, c’est que les plus anciennes règles conservées sur le zéro en tant que nombre viennent de Brahmagupta, en 628, et que la plus ancienne inscription indienne datée comportant un zéro reconnu par tous les spécialistes, à Gwalior, remonte à 876. « Aryabhata a inventé le zéro » est donc une simplification populaire, et non ce que dit son livre.

Pi et sinus. Un verset donne la règle « ajoute 4 à 100, multiplie par 8 et ajoute 62 000 » pour la circonférence d’un cercle de 20 000 unités de diamètre, et qualifie le résultat d’approché. On obtient ainsi π ≈ 3,1416. Cette valeur était très bonne, mais pas unique : à Alexandrie, Ptolémée avait utilisé environ 3,14166 au IIe siècle, et en Chine, Zu Chongzhi (429–501) avait trouvé à la fin du Ve siècle 355/113, exact à six décimales. Un autre verset énumère 24 nombres : les différences entre sinus successifs, ou demi-cordes, par pas de 3° 45′, dans un cercle dont le rayon mesure 3 438 unités. À partir d’eux, on peut reconstituer une table complète des sinus sur un quart de cercle.

La Terre et les éclipses. Aryabhata donne le nombre de tours de la Terre dans un grand cycle de 4 320 000 ans, soit 1 582 237 500, et compare le mouvement des étoiles vers l’ouest à la façon dont la rive semble se déplacer pour quelqu’un qui se trouve dans un bateau. Il affirme que la Lune cache le Soleil et que la grande ombre de la Terre cache la Lune. Une rotation quotidienne de la Terre avait été proposée bien plus tôt par le Grec Héraclide du Pont, au IVe siècle av. J.-C., mais, au sein de l’astronomie indienne, l’affirmation d’Aryabhata était audacieuse et soigneusement calculée, et beaucoup de ses successeurs la rejetèrent.

Aryabhata travailla à une époque que les historiens appellent souvent l’ère Gupta, quand une grande partie du nord de l’Inde était gouvernée par la dynastie Gupta depuis son cœur historique du Magadha (Bihar moderne). Cette époque est restée célèbre pour sa littérature sanskrite, sa sculpture, la construction de temples et l’écriture scientifique. Pataliputra, l’ancienne capitale impériale sur le Gange, était un grand centre de savoir et de commerce.

Dans l’Āryabhaṭīya, il dit présenter un savoir honoré à Kusumapura. Les traditions hindoue et bouddhiste, ainsi que le commentateur du VIIe siècle Bhaskara Ier, identifient Kusumapura à Pataliputra. Un verset plus tardif le décrit comme un kulapa, le chef d’une institution, à Kusumapura. Comme le grand monastère de Nalanda n’était pas très éloigné, on affirme parfois qu’il dirigeait Nalanda, mais rien dans ses propres écrits ne le confirme, et la plupart des historiens considèrent cela comme une spéculation.

Son lieu de naissance est moins certain. Bhaskara Ier l’appelle āśmakīya, « appartenant à l’Ashmaka », une région généralement située dans le Deccan entre les fleuves Narmada et Godavari. Certains auteurs ont plaidé pour le Kerala, dans l’extrême sud, en notant que de nombreux commentaires ultérieurs de son œuvre y furent rédigés. D’autres pensent qu’il naquit près de Pataliputra. Les preuves ne permettent pas de trancher la question.

Une tradition locale au Bihar le relie à un observatoire situé au temple du Soleil de Taregana, au sud de Patna. Il s’agit là aussi d’une tradition plus tardive plutôt que d’un fait historique documenté.

L’Āryabhaṭīya est étonnamment court. Il comporte quatre chapitres (pāda). Le premier, le Gītikāpāda, compte 13 versets : une invocation, un système ingénieux pour écrire les nombres au moyen de syllabes, et des tables de constantes astronomiques, dont le nombre de révolutions des planètes dans un grand cycle de 4 320 000 ans et une table de sinus condensée en un seul verset.

Le deuxième chapitre, le Gaṇitapāda, compte 33 versets de mathématiques : carrés, cubes et leurs racines, aires et volumes, propriétés des cercles et des triangles, ombres projetées par un gnomon (un bâton vertical utilisé comme cadran solaire), séries arithmétiques, intérêts, et méthodes de résolution d’équations. Le troisième, le Kālakriyāpāda, compte 25 versets sur les unités de temps et les mouvements des planètes. Le quatrième, le Golapāda, compte 50 versets sur la sphère céleste, la forme de la Terre, le jour et la nuit, et les éclipses.

Le livre est écrit dans le style concis de la littérature technique indienne. Chaque verset est un aide-mémoire, condensant une règle en quelques mots qu’un élève apprenait par cœur et qu’un maître expliquait ensuite. C’est pourquoi l’Āryabhaṭīya a toujours été lu avec des commentaires. Le plus ancien qui nous soit parvenu, celui de Bhaskara Ier, date de 629 apr. J.-C.

Aryabhata écrivit aussi au moins une autre œuvre, un système astronomique dans lequel la journée commence à minuit plutôt qu’au lever du soleil. Elle est perdue, mais des astronomes postérieurs, comme Varahamihira, Brahmagupta et Bhaskara Ier, la citent ou la décrivent, et elle comprenait des descriptions d’instruments tels que le gnomon et les clepsydres.

Le verset le plus célèbre du Gaṇitapāda donne une règle pour la circonférence d’un cercle. On peut le traduire ainsi : « Ajoute quatre à cent, multiplie par huit, et ajoute soixante-deux mille : c’est la circonférence approximative d’un cercle dont le diamètre est vingt mille. » Le résultat, 62 832 divisé par 20 000, donne π ≈ 3,1416, exact à quatre décimales près. Aryabhata employait le mot āsanna, « approchant » ou « proche », que certains historiens lisent comme un signe qu’il savait que cette valeur ne pouvait être qu’approchée.

Là où des astronomes grecs comme Ptolémée dressaient des tables de cordes entières, Aryabhata, comme d’autres astronomes indiens, travaillait avec la moitié d’une corde, l’ardha-jyā ou simplement jyā. C’est la longueur R sin θ dans un cercle de rayon R ; en la divisant par le rayon, on obtient le sinus moderne. Sa table, condensée en un seul verset, couvre un quart de cercle en 24 pas de 3° 45′ ; à proprement parler, elle énumère les différences entre sinus successifs dans un cercle dont le rayon mesure 3 438 unités, et un autre verset explique comment calculer une telle table. Le nom lui-même a fait un long voyage. Les astronomes arabes empruntèrent jyā sous la forme jība ; comme l’écriture arabe omet généralement les voyelles brèves, des lecteurs ultérieurs prirent le mot pour jayb, « pli » ou « poche », que les traducteurs latins rendirent par sinus, d’où vient le mot français « sinus ».

Une autre contribution importante est une méthode pour trouver des solutions entières à des équations comme ax − by = c, appelées équations diophantiennes linéaires ou indéterminées. Les mathématiciens indiens appelaient cette technique kuṭṭaka, « le pulvérisateur », car elle décompose les nombres étape par étape en nombres plus petits, un peu comme l’algorithme d’Euclide. De tels problèmes comptaient pour l’astronomie, où il fallait déterminer quand plusieurs cycles s’aligneraient. Bhaskara Ier et des mathématiciens postérieurs affinèrent cette méthode.

Le livre donne aussi des règles pour les sommes de séries arithmétiques, pour les sommes des carrés et des cubes des n premiers nombres, des formules pour les aires et les volumes, et des méthodes pour extraire des racines carrées et cubiques. Ces méthodes d’extraction des racines progressent position par position à travers les chiffres décimaux d’un nombre. On ignore comment il écrivait réellement les nombres pendant ses calculs ; son traducteur Clark jugeait possible l’usage d’une tablette divisée en colonnes, une colonne laissée vide marquant une position vide. Dans le livre lui-même, il n’utilisa son code syllabique que pour les grandes constantes du premier chapitre, et des noms de nombre ordinaires ailleurs.

L’affirmation la plus audacieuse d’Aryabhata concerne la Terre. Dans le premier chapitre, il donne le nombre de rotations de la Terre au cours d’un grand cycle, et dans le Golapāda, il explique le mouvement quotidien des étoiles par une image : de même qu’une personne dans un bateau avançant voit des objets immobiles sur la rive sembler reculer, de même les habitants de Lanka (un point de référence sur l’équateur) voient les étoiles immobiles sembler se déplacer vers l’ouest. La plupart des astronomes de son époque, en Inde comme ailleurs, croyaient que la Terre était fixe et que les cieux tournaient autour d’elle.

Cette idée ne fut pas largement acceptée. Des astronomes indiens postérieurs, dont Brahmagupta, la rejetèrent, et certains commentateurs allèrent jusqu’à modifier le texte des versets pour que ce soient les cieux qui bougent. Des siècles plus tard, le savant persan al-Biruni rapporta que les disciples d’Aryabhata soutenaient que la Terre tourne. Le texte lui-même pose une énigme : le verset qui suit immédiatement l’image du bateau dit que la sphère des étoiles, poussée par un vent cosmique, se déplace vers l’ouest. Clark estimait néanmoins que la croyance d’Aryabhata en une Terre qui tourne est clairement exprimée ailleurs dans le livre et que ses critiques l’avaient comprise ainsi.

Aryabhata donna aussi une explication physique claire des éclipses. Il affirma que la Lune et les planètes brillent par la lumière du Soleil qu’elles réfléchissent, et qu’une éclipse de Lune survient lorsque la Lune entre dans l’ombre de la Terre, tandis qu’une éclipse de Soleil survient lorsque la Lune couvre le Soleil. Dans les croyances populaires, les éclipses étaient attribuées à Rahu, un démon qui avale le Soleil ou la Lune. Les versets d’Aryabhata calculent la taille de l’ombre de la Terre et la partie de la Lune ou du Soleil qui sera obscurcie.

Ses valeurs numériques étaient remarquablement précises. Son chiffre pour le temps que met la Terre à effectuer une rotation par rapport aux étoiles équivaut à 23 heures, 56 minutes et environ 4 secondes, très proche de la valeur moderne. Sa durée de l’année sidérale est d’environ 365 jours, 6 heures et 12 minutes, seulement quelques minutes de plus que le chiffre moderne.

L’astronomie indienne était étroitement liée au calendrier et au rituel. Prêtres et astrologues devaient connaître les positions du Soleil, de la Lune et des planètes pour fixer les fêtes, les moments favorables et les jours lunaires appelés tithis. Le Kālakriyāpāda d’Aryabhata donne des méthodes pour calculer les positions moyennes des planètes à une date donnée, pour ajouter des mois intercalaires afin de maintenir les calendriers lunaire et solaire synchronisés, et pour nommer les jours de la semaine.

La cosmologie indienne antérieure divisait le temps en âges immenses. Aryabhata conserva le grand cycle de 4 320 000 ans mais le divisa en quatre parties égales, au lieu des âges inégaux de la cosmologie puranique traditionnelle. Cet écart avec la tradition fut l’une des raisons pour lesquelles Brahmagupta le critiqua vivement.

Le système planétaire de l’Āryabhaṭīya maintient la Terre au centre. La position vraie d’une planète se calcule à partir de sa position moyenne au moyen de deux sortes de corrections, appliquées en plusieurs étapes : la correction manda, qui rend compte de l’irrégularité de son propre mouvement, et la correction śīghra, qui, pour les planètes, est liée au Soleil ; toutes deux sont représentées comme de petits cercles entraînés autour de cercles plus grands. En s’éloignant de la Terre, il place la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter, Saturne, puis les étoiles. D’autres systèmes indiens de la période fonctionnent à peu près de la même manière, et des historiens comme David Pingree ont soutenu qu’ils adaptent des modèles grecs antérieurs à Ptolémée.

L’Āryabhaṭīya fait débuter son décompte du temps à un moment où toutes les planètes étaient censées être alignées au début du Kali Yuga, en 3102 av. J.-C. Cette époque de référence, partagée avec d’autres systèmes indiens, fournissait un point de départ fixe pour calculer les positions planétaires.

Aryabhata fonda ce qui allait devenir l’Āryapakṣa, l’« école d’Aryabhata », l’une des principales traditions de l’astronomie indienne. Bhaskara Ier, écrivant environ un siècle plus tard, rédigea un commentaire détaillé en 629 et le loua comme le maître ayant atteint le rivage lointain de l’océan des mathématiques, de la cinématique et de la sphérique. Brahmagupta, écrivant en 628, critiqua nombre de ses idées, mais les discuta longuement, ce qui montre à quel point il fut influent.

L’Āryabhaṭīya fut particulièrement important dans le sud de l’Inde. Au Kerala, astronomes et mathématiciens produisirent une longue série de commentaires, culminant avec l’œuvre de Nilakantha Somayaji, dont le commentaire fut rédigé vers 1500. L’école mathématique du Kerala, célèbre pour ses travaux sur les séries infinies, se considérait comme le prolongement de la tradition d’Aryabhata.

Dans toute l’Inde, les faiseurs de calendriers utilisaient des calculs issus de la tradition d’Aryabhata pour préparer le pañcāṅga, l’almanach traditionnel. Son système de numération syllabique fut largement imité dans les œuvres astronomiques du sud de l’Inde.

Un astronome plus tardif, connu sous le nom d’Aryabhata II, écrivit une œuvre appelée le Mahāsiddhānta vers le Xe siècle. Il ne doit pas être confondu avec l’auteur de l’Āryabhaṭīya.

Les œuvres astronomiques indiennes voyagèrent vers l’ouest au VIIIe siècle, lorsque des savants de la cour abbasside de Bagdad traduisirent des textes sanskrits en arabe. Grâce à ces traductions, les tables de sinus et les méthodes indiennes pour calculer les positions planétaires entrèrent dans l’astronomie islamique, qui les transmit plus tard à l’Europe. Le chemin exact suivi par les idées propres d’Aryabhata n’est pas toujours clair, et les sources arabes parlent souvent de l’astronomie indienne en général sans le nommer lui-même.

Al-Biruni, qui écrivit un célèbre livre sur l’Inde au XIe siècle, connaissait Aryabhata et ses disciples et discuta de leur conception d’une Terre en rotation. L’histoire du mot « sinus », du sanskrit jyā à l’arabe puis au latin sinus, est une trace petite mais vivante de cette chaîne de transmission.

Dans l’Inde moderne, Aryabhata est devenu un symbole national de la réussite scientifique. Le premier satellite indien, construit par l’Organisation indienne de recherche spatiale et lancé le 19 avril 1975 sur une fusée soviétique, fut nommé Aryabhata. Le satellite apparaît au dos du billet indien de deux roupies. Un cratère lunaire, un institut de recherche en sciences de l’observation près de Nainital et une université de Patna portent aussi son nom.

Aryabhata est souvent présenté, dans des récits populaires, comme l’inventeur du zéro ou comme quelqu’un ayant anticipé le système héliocentrique de Copernic. Ces deux affirmations vont au-delà des preuves disponibles, comme l’expliquent la section consacrée à ce que dit vraiment l’Āryabhaṭīya et les sections avancées.

Aryabhata connaissait-il le zéro ? L’Āryabhaṭīya n’utilise aucun symbole pour le zéro ; ses grandes constantes sont écrites dans son code syllabique et ses autres nombres avec des noms de nombre ordinaires. Cependant, ses méthodes d’extraction de racines carrées et cubiques opèrent chiffre par chiffre dans un système décimal positionnel, et son schéma de numération assigne des syllabes à des puissances de dix, dont certaines pourraient avoir des coefficients nuls. Georges Ifrah et d’autres soutiennent que le concept de zéro servant à marquer une position vide était donc implicite. La plupart des historiens s’accordent à dire que l’arithmétique décimale positionnelle était en usage ; la question du moment où le zéro devint un nombre explicite doté de ses propres règles est généralement rattachée à Brahmagupta, en 628.

Savait-il que π était irrationnel ? Le mot āsanna, « approchant », peut se lire comme une simple reconnaissance du fait que 3,1416 est une approximation, ou, de manière plus audacieuse, comme l’intuition qu’aucune fraction exacte n’existe. Certains historiens indiens des mathématiques ont privilégié la lecture la plus forte, mais le verset lui-même ne fournit aucun argument ; on ne peut donc pas montrer qu’il savait que π est irrationnel ; l’irrationalité de π fut démontrée pour la première fois, en Europe, par Johann Heinrich Lambert en 1761. Le MacTutor ajoute cette observation curieuse : Aryabhata lui-même semble avoir préféré √10 (environ 3,162) dans la pratique.

Son système était-il secrètement héliocentrique ? L’historien B. L. van der Waerden soutint que certains traits du modèle planétaire d’Aryabhata, en particulier le rôle de l’épicycle śīghra lié au mouvement moyen du Soleil, trahissent une théorie héliocentrique sous-jacente, peut-être héritée de sources grecques perdues. Noel Swerdlow et d’autres rejetèrent fermement cette lecture, faisant remarquer que le texte est explicitement géocentrique et que des corrections similaires apparaissent dans des systèmes qui ne sont pas héliocentriques. Le consensus général est qu’Aryabhata proposait une Terre en rotation, et non une Terre en orbite autour du Soleil.

D’où viennent ses paramètres ? Des chercheurs comme David Pingree ont fait remonter de nombreux éléments de l’astronomie mathématique indienne à des sources babyloniennes et hellénistiques adaptées en Inde, tandis que d’autres insistent sur des développements indiens indépendants. La relation entre le système d’Aryabhata et les traditions antérieures du Paitāmaha-siddhānta et du Sūrya-siddhānta reste un sujet de recherche actif.

L’Āryabhaṭīya nous est parvenu dans de nombreux manuscrits, la plupart originaires du sud de l’Inde, et généralement accompagnés de commentaires. Comme les versets sont si condensés, les commentaires sont indispensables pour les comprendre. Le commentaire de Bhaskara Ier, de 629, est le plus ancien et le plus détaillé ; des commentaires plus tardifs du Kerala, dont ceux de Parameshvara et de Nilakantha Somayaji, montrent comment le texte fut utilisé et parfois réinterprété.

L’étude moderne du texte commença au XIXe siècle. Le savant néerlandais Hendrik Kern publia le texte sanskrit accompagné du commentaire de Parameshvara à Leyde en 1874. La traduction anglaise de Walter Eugene Clark parut en 1930. L’édition critique de référence, avec traduction et notes, fut préparée par K. S. Shukla en collaboration avec K. V. Sarma et publiée par l’Académie nationale indienne des sciences en 1976 ; dans la même collection, Shukla édita séparément les commentaires de Bhaskara Ier et de Someshvara, et Sarma celui de Suryadeva Yajvan.

Les preuves biographiques sont minces et en partie légendaires. Hormis le verset donnant son âge, nous dépendons de commentateurs écrivant un siècle ou plus après lui, et de traditions régionales ayant chacune leurs propres intérêts : les revendications en faveur du Kerala, du Bihar et du Deccan ont toutes leurs défenseurs. Les historiens séparent donc ce que dit le texte de ce que lui ont attribué des sources ultérieures.

Le système perdu du décompte à partir de minuit est reconstitué à partir d’œuvres postérieures, en particulier la Pañcasiddhāntikā de Varahamihira et le Khaṇḍakhādyaka de Brahmagupta, qui suit le décompte à partir de minuit d’Aryabhata. Une œuvre conservée en arabe, présentée comme une traduction d’Aryabhata, a aussi été discutée, mais son lien avec lui reste incertain.