アル=フワーリズミー

ムハンマド・イブン・ムーサー・アル=フワーリズミーは、9世紀前半にバグダードで活動した数学者、天文学者、地理学者である。当時バグダードは、北アフリカから中央アジアにまで広がる帝国、アッバース朝カリフ国の都であり、世界でも最大かつ最も豊かな都市のひとつだった。彼の名前は三つのことを教えてくれる。すなわち、彼自身の名がムハンマドであること、父の名がムーサーであること、そして彼自身、あるいはその一族が、アラル海の南、アム川下流域の肥沃な地方であるフワーリズムの出身であることである。

彼は四つの著作で名高い。第一の著作は方程式の解き方を説明し、「代数学」という名前の由来となった。第二の著作は、ゼロを含むインドの十進法の数字を使った計算方法を教えるもので、そのラテン語版の題名は彼の名前で始まり、「アルゴリズム」という言葉の由来となった。第三の著作は、太陽・月・惑星の位置を計算するための天文表の集成だった。第四の著作は、2000か所を超える場所の緯度と経度を列挙した地理書だった。

これらの著作はいずれも、専門家だけのために書かれたものではなかった。アル=フワーリズミー自身、自らの代数学の本を、計算において「最も易しく、最も役に立つ」こと、すなわち相続、遺贈、財産の分割、訴訟、交易のために人々が必要とするような事柄を説明するために書いたと述べている。この実用的で明快な姿勢こそが、彼の著作が何世紀にもわたって書き写され、学ばれ、翻訳され続けた理由のひとつである。

バグダードは762年、アッバース朝のカリフ、マンスールによって、ティグリス川のほとりに新たな円形の都として築かれた。商人や学者、役人たちが、アラビア半島、ペルシャ、中央アジア、インド、そして古くからギリシャ語が話されていた土地からこの都に集まった。当時イスラーム世界に広まり始めていた紙は、書物の生産をかつてないほど安価にした。

アッバース朝の支配者たちは、ギリシャ語、シリア語、ペルシャ語、サンスクリット語の科学・哲学書のアラビア語への翻訳に資金を出した。770年代初めごろ、あるインドの天文学書がマンスールの宮廷にもたらされ、翻訳された。科学に強い個人的関心を持っていたカリフ、マアムーン(813〜833年)のもとで、翻訳と研究は大規模に支援された。アラビア語は、スペインから中央アジアに至るまでの科学の共通語となった。

アル=フワーリズミーは、伝統的にバグダードの宮廷図書館であり学問の中心地であった「バイト・アル=ヒクマ(知恵の館)」と結びつけて語られる。後代の記録は、彼がそこの天文学者であり、その図書館の館長でさえあったと伝えている。彼は自らの代数学書と天文表の両方をマアムーンに献呈しており、これは彼がカリフの宮廷の近くで活動していたことを示している。

アル=フワーリズミーの生涯について確かに分かっていることは、ごくわずかしかない。彼を知る人物によって書かれた伝記は残っていない。私たちが持つ主な情報は、10世紀末にバグダードの書籍商イブン・アル=ナディームがまとめたアラビア語書物の目録『フィフリスト』の短い記述、歴史家アル=タバリーによるいくつかの言及、そして彼自身の著作の序文から来ている。

彼の生年は通常780年ごろ、没年は850年ごろとされるが、これらは推定にすぎない。年代が分かる彼の業績の大半は、マアムーンの治世にあたる813年から833年の間になされている。ある記録によれば、後のカリフ、ワースィク(在位842〜847年)の時代に、彼はカフカス山脈の北に住む民族、ハザール人への使節団に加わったとされるが、これは確かではない。

彼はペルシャ系あるいはフワーリズム系の出自でありながら、アラビア語で著述した。彼の代数学書の序文は、神と預言者を称えるイスラーム的な文言で始まっており、これは彼が自らをムスリムとして示していたことを表している。これらの点を超えて、彼について語られることの多く――彼の師、家族、日々の仕事など――は、初期の史料によって裏づけられていない。

彼の最も有名な著作は、マアムーンの後押しを受けて820年ごろバグダードで書かれた『アル=ジャブルとアル=ムカーバラの計算についての要約の書』である。これは、方程式を解くことを、個々の問題の寄せ集めとしてではなく、それ自体で独立した主題として扱った、現存する最古の書物である。

アル=フワーリズミーは三種類の量を扱った。「数」(今日でいう定数)、「根」(未知数のことで、「もの」を意味する「シャイ」とも呼ばれた)、そして「平方」(未知数を自分自身にかけたもの)である。彼は、正の量からなるあらゆる一次・二次の問題が、六つの標準形のいずれかに帰着できることを示した。平方が根に等しい、平方が数に等しい、根が数に等しい、平方と根が数に等しい、平方と数が根に等しい、根と数が平方に等しい、の六つである。それぞれの型について、彼は答えを見つけるための規則を示した。

問題を標準形にするための操作が二つある。「アル=ジャブル」(復元)は、引かれている量を両辺に加えることで取り除く操作で、現代の記法でいえば、x² = 40x − 4x² が 5x² = 40x になるようなものである。「アル=ムカーバラ」(均衡)は、両辺から同じ量を取り除く操作で、x² + 14 = x + 5 が x² + 9 = x になるようなものである。この最初の言葉が、ラテン語に取り入れられて「アルジェブラ」となり、この学問分野全体の名前となった。

重要なのは、アル=フワーリズミーが記号をまったく使わなかったことである。数さえも含め、すべてが言葉で書き表されていた。彼の有名な例題は、ある数の平方に、その数の10倍を加えると39になるような数を求めるもので、彼はこれを「平方完成」によって解いている。そして彼は、この規則を幾何学的な図形によって証明する。正方形の周りに長方形を配置し、隅に小さな正方形を付け加えていくと、より大きな一つの正方形が完成する。答えである3は、その図から読み取ることができる。

この本はさらに、掛け算や式の扱い方の規則、面積と体積の測定についての章(円周率について3と7分の1、そして3.1416を含む三つの近似値を挙げている)、そして本の約半分を占める長い最終部分――算術と簡単な方程式を、多くの相続人の間で遺産を定められた割合に分けるイスラームの相続法に応用する部分――へと続く。

アル=フワーリズミーはまた、825年ごろに書かれた論考の中で、9個のインド数字とゼロを表す記号を用いた位取り記数法――今日「インド・アラビア数字」と呼ばれる方式――による計算方法を説明している。この論考は、数の書き方、足し算、引き算、倍にすること、半分にすること、掛け算、割り算を扱い、平方根についても扱っていたようである。計算は「タフト」と呼ばれる砂盤の上で行われた。これは細かい砂を敷いた盆で、数字を書き記してはすぐに消すことができた。

アラビア語の原本は失われている。現存するのは12世紀のラテン語による改作であり、いずれも逐語訳ではない。最もよく知られるものは「ディクシット・アルゴリズミ(アル=フワーリズミーは言った)」で始まり、ケンブリッジにただ一冊残る写本に保存されている。これは1857年に『アルゴリトミ・デ・ヌメロ・インドルム』という題で刊行された。『リベル・イサゴガルム・アルコリスミ』や『リベル・アルコアリスミ・デ・プラクティカ・アリスメティケ』といった他のラテン語の著作も、彼の方法を発展させたものである。

ラテン語では、アル=フワーリズミーの名前は「アルゴリスムス」あるいは「アルゴリトミ」となった。「アルゴリズム(アルゴリスム)」という語は、それまでのそろばんに代わる、書き記した数字による新しい計算方法を意味するようになり、この英単語はすでに13世紀初頭に現れている。後に、ギリシャ語のアリトモス(「数」の意)の影響を受けて「アルゴリトムス」という形に作り変えられ、英語の「アルゴリズム」は16世紀末までには記録されている。今日この語は、コンピューターによって実行されるものを筆頭に、正確な手順の並びすべてを意味する。

「数字」を意味するスペイン語のグアリスモや、ポルトガル語のアルガリズモも、彼の名前に由来する。このようにして、一人の学者の名前は、中央アジアからバグダードへ、バグダードからスペインとラテン語圏のヨーロッパへ、そして最後には現代のコンピューター用語の中へと旅していったのである。

「ズィージュ」とは天文学の手引書のことで、太陽・月・惑星の位置、日食・月食の時刻、新月が見える時期、暦の日付を計算するための、説明付きの表の集成である。アル=フワーリズミーの『ズィージュ・アル=シンド・ヒンド』は、この種のアラビア語文献としては最古のもののひとつである。現存する記述によれば、これはおよそ37章、116の表からなり、正弦表も含んでいた。

その名「シンド・ヒンド」は、天文学の論考を意味するサンスクリット語「シッダーンタ」に由来する。この表に見られる惑星の平均運動は、インド天文学、とりわけ、それより数十年前にアッバース朝の宮廷で翻訳されていたブラフマグプタの『ブラーフマスプタシッダーンタ』に由来する。彼はまた、ペルシャの資料や、いくらかのプトレマイオス由来の資料も用いた。この混合ぶりは、バグダードの学者たちが、別々に発展してきた諸伝統をどのように組み合わせていたかを示している。

アラビア語の原文は失われている。これは、1000年ごろにアンダルスの天文学者マスラマ・アル=マジュリーティーによってなされた改訂版を通じて伝わっており、それが12世紀にラテン語へ翻訳された。おそらくバースのアデラードによるものとされ、この翻訳は1126年の年代と結びつけられている。このラテン語版の写本は四本知られている。アル=フワーリズミーはまた、アストロラーベと日時計について、メッカの方角の求め方について、そしてユダヤ暦とその19年周期についても著作を残している。

アル=フワーリズミーの『大地の姿の書(キターブ・スーラト・アル=アルド)』は、833年に完成した。これは、2世紀のクラウディオス・プトレマイオスによる『地理学』を徹底的に書き改めたものである。短い序文の後、都市、山、海、島、河川という2,402か所の座標を、気候帯(緯度の帯)ごとに並べ、それぞれの帯の中ではさらに経度によって配列している。

彼は単にプトレマイオスを写しただけではなかった。彼はプトレマイオスによる地中海の長さの大きな過大評価――経度にしておよそ63度――を、50度に近い値へと修正し、大西洋とインド洋を、閉じた内海ではなく開けた海として示した。イスラーム圏、アフリカ、アジアについての彼のデータは、概してプトレマイオスのものより優れていたが、ヨーロッパについては、より古い資料に頼るところが多かった。

この著作のアラビア語写本は一本だけが現存し、今日ストラスブールにあるが、そこには世界地図は含まれていない。20世紀に、学者ヒューバート・ダウニヒトは、この座標を方眼紙上に描き出し、失われた地図が示していたはずの海岸線、河川、町を再構成した。アル=フワーリズミーはまた、マアムーンによる地球の測量と世界地図作成の事業に加わったとも伝えられている。

イスラーム世界において、アル=フワーリズミーの代数学は長い伝統の出発点となった。後代の数学者、たとえばエジプトのアブー・カーミルは、彼の方法を発展させ、同じ題名を持つ独自の著作を書いた。数世紀後、オマル・ハイヤームは、この系譜に連なる論考の中で、三次方程式を幾何学的に解いた。彼が定めた本初子午線と座標は、その後の多くのムスリムの地理学者によって用いられた。

12世紀、スペインをはじめとする各地の学者たちは、アラビア語の科学書をラテン語に翻訳した。チェスターのロバートは1145年、セゴビアで代数学書を翻訳し、クレモナのゲラルドも別の翻訳を作った。この代数学書は、16世紀に至るまでヨーロッパの大学における主要な数学の教科書であり続けた。彼の算術書はインド・アラビア数字をヨーロッパに広め、ピサのレオナルド(フィボナッチ)を含む後代の著述家たちが、この伝統の上に自らの仕事を築いていった。

1831年、フレデリック・ローゼンは、オックスフォードに保存されている唯一のアラビア語写本に基づいて、この代数学書の初めての英訳を出版した。月の裏側にあるクレーターと二つの小惑星がアル=フワーリズミーにちなんで名づけられており、イラン、ウズベキスタン、そしてアラブ世界の各地で広く顕彰されている。

アル=タバリーの年代記は、彼の名を「ムハンマド・イブン・ムーサー・アル=フワーリズミー・アル=マジューシー・アル=クトルッブリー」と伝えている。科学史家G・J・トゥーマーは、「アル=マジューシー」(「マギ教徒」、すなわちゾロアスター教徒)という語をゾロアスター教にルーツを持つことを示唆するものと受け取り、「アル=クトルッブリー」をバグダード近郊の地区クトルッブルを指すものと解釈した。代数学書の序文が敬虔なムスリムのものであることから、トゥーマーはこの呼び名が、彼の祖先あるいは若い頃を表すのかもしれないと示唆した。

ロシュディ・ラーシェドはこの読み方を退けた。彼は、この一節がもともと「アル=フワーリズミーと、アル=マジューシー・アル=クトルッブリー」という二人の異なる人物の名前を並べたものであり、アラビア語の「ワ」(「と」の意味)が初期の写本のどこかで脱落したのだと論じた。この見方によれば、これらの呼び名はアル=フワーリズミー自身については何も語っていないことになる。デイヴィッド・A・キングのような他の学者は、クトルッブルとの関連を受け入れている。この意見の相違は、彼の伝記の多くが、ただ一つの写本の系統の解釈にどれほど依存しているかを示している。

D・M・ダンロップによるもうひとつの説は、アル=フワーリズミーが、同じくバグダードの有力な科学者一族であったバヌー・ムーサー兄弟のうち最年長の、ムハンマド・イブン・ムーサー・イブン・シャーキルと同一人物ではないかというものである。この同一視は広く受け入れられてはいない。最も確実な言い方は、私たちが手にしているのは、後世のわずかな記録と、著者自身の序文だけであり、通俗的な伝記の多くは、その空白を創作で埋めているということである。

アル=フワーリズミーの代数学の源流と独創性については、歴史家の間で意見が大きく分かれている。バビロニアの書記たちは、その二千年前にすでに二次の問題を解いており、アレクサンドリアのディオファントスは『算術』を著し、ブラフマグプタのようなインドの数学者たちは、二次方程式のための規則を持ち、負の数や省略記法も用いていた。これに対しアル=フワーリズミーは、すべてを言葉で書き表し、負の量を避けていた。

トゥーマーやラーシェドを含む一部の学者は、幾何学的な証明が、彼のバグダードの同僚アル=ハッジャージュが翻訳していたユークリッドの『原論』、とりわけ第2巻に対する馴染みを示していると考えている。ソロモン・ガンツはこれとは反対の見方を取った。彼の代数学書には定義も公理もユークリッド流の論証もなく、その幾何学はむしろ実用的な測量術に近いというのである。ガンツと、後にはカレン・パーシャルも、それ自体の年代が議論の的となっているヘブライ語の幾何学書『ミシュナト・ハ=ミドット』との類似を指摘している。

彼の業績についての評価は大きく分かれている。ガンツは、彼こそがディオファントスよりも「代数学の父」と呼ぶにふさわしいとした。なぜなら、彼は代数を「初歩的な形で、それ自体を目的として」教えたからである。ラーシェドは、方程式そのものを、余すところなく分類したうえで研究の対象とした新しさを強調した。カール・ボイヤーは、彼の仕事がディオファントスやブラフマグプタよりも初歩的で「修辞的」でありながら、精神においては現代の初等代数学により近いと指摘した。これに対しトゥーマーは、彼の数学それ自体はかなり控えめなものだったと評価しつつも、その影響力の大きさは認めている。

この論争を整理するひとつの有効な方法は、個々の技法と、それらの組織化とを分けて考えることである。個別の技法の多くは彼以前から存在していた。新しかったのは、標準形、一般的な操作、そして証明からなる、体系的で教えやすい枠組みを、後に科学の国際的な共通言語となる言語で示したことである。何か一つの発見というより、この枠組みが持った影響力こそが、数学史における彼の位置を説明している。

アル=フワーリズミーの著作は、非常に不均等な形で伝わっている。代数学書は、ローゼンが用いたオックスフォードの唯一の写本によるアラビア語版と、中世のラテン語版(その一本はケンブリッジにある)の形で残っている。算術書は、失われた原本とは異なるラテン語による改作でしか残っておらず、彼自身が実際に何を書いたのかを再構成するには、複数のラテン語文献を比較する必要がある。『ズィージュ』は、アル=マジュリーティーによる改訂版のラテン語訳を通じてのみ伝わっている。地理書は、ストラスブールにある一本のアラビア語写本の形で残っている。日時計、アストロラーベ、キブラ(メッカの方角)についての他の短い著作は、ベルリン、イスタンブール、タシュケント、カイロ、パリにある写本に保存されているが、その帰属には確かでないものもある。

彼の年代記の書物『歴史の書』は失われているが、11世紀にシリア語圏の主教、ニシビスのエリアスによって引用されている。これは、彼が同時代人から、数学者としてだけでなく、歴史家・暦学者としても知られていたことを思い起こさせる。

「知恵の館」の役割についても、慎重な扱いが必要である。19世紀・20世紀の著述家たちは、これをしばしば、複数の研究部門を持つ大規模な学院や大学であるかのように描いてきた。近年の一部の歴史家は、初期の史料が伝えているのはもっと控えめなもの――宮廷図書館であり、学者たちが働く場所であること――であり、より壮大なイメージは後世の投影にすぎないと論じている。アル=フワーリズミーとカリフの宮廷との結びつきは、彼が著作を献呈していることから明らかだが、その正確な制度上の位置づけについては、それほど確かではない。