アリヤバータ

アリヤバータは、同名の後代の天文学者と区別するためしばしば「アリヤバータ1世」とも呼ばれ、その著作が完全な形で今に伝わる、インドで最古の数学者・天文学者である。彼が著した『アーリヤバティーヤ』は、サンスクリット語の詩句からなる簡潔な論考で、その後千年以上にわたりインド天文学のあり方を形づくった。

彼の生涯について分かっていることは、そのほとんどが自著のわずかな記述と、後代の注釈者たちの言及に基づく。第3章で彼は、インド宇宙論における現在の時代、カリ・ユガが3600年経過したとき、自分は23歳であったと述べている。その年は西暦499年にあたり、つまり彼は476年に生まれたことになる。学者の中には499年を彼が本を書いた年と見る者もいれば、彼が選んだ天文学上の基準点にすぎないと見る者もいる。

彼の名前は正しくは「Aryabhata」であって、「Aryabhatta」ではない。ブラフマグプタなど後代の天文学者たちは彼の名を何度も言及しており、また「t」を一つとする綴りのほうがサンスクリット詩の韻律にも合っている。

アリヤバータの肖像は残っていない。プネーの大学間天文学・宇宙物理学センターにある彫像のような、近代に作られた彫刻や絵は、いずれも想像の産物である。

位取り。数学の章でアリヤバータは、「一」(エーカ)から「十億」(ヴリンダ)までの10のべき乗の名を挙げ、「位から位へ、それぞれは前の位の10倍である」と述べている。これは十進位取り記数法をはっきりと述べたものであり、平方根・立方根を求める彼の規則も、この体系の中で桁ごとに計算を進める。しかし書物そのものでは、彼は数を言葉で書いた。小さな数には普通の数詞を用い、第1章の大きな定数には、詩句に収まるよう、サンスクリットの音節が数を表す自ら考案した符号を用いたのである。

ゼロ。『アーリヤバティーヤ』にはゼロの記号がなく、ゼロを使った足し算・引き算・掛け算の規則も示されていない。音節符号を説明する際、彼は数の位を指すのに「空間」を意味する「カ(kha)」という語を使っている。この語は後に、ゼロを表す最も一般的なサンスクリット語の一つになった。彼が何を知っていたかについては、歴史家の意見が分かれる。マクチューターが引用するジョルジュ・イフラーは、彼がゼロの記号を知っていた可能性は「きわめて高い」と考えたが、英訳者のウォルター・ユージン・クラークは、彼の時代にそのような記号が使われていたかどうかは「なお議論がある」と書いた。確かなのは、ゼロを数として扱う規則で現存最古のものが628年のブラフマグプタによること、そして、すべての研究者が認めるゼロを含む年代の明らかなインド最古の碑文が、876年のグワーリヤルのものであることだ。したがって「アリヤバータがゼロを発明した」というのは通俗的な単純化であって、彼の書物に書かれていることではない。

円周率と正弦。ある詩句は、直径20,000の円の円周について「100に4を加え、8を掛け、62,000を加えよ」という規則を示し、その結果を近似値と呼んでいる。ここからπ ≈ 3.1416が得られる。この値はきわめて優れていたが、ほかに例のないものではなかった。アレクサンドリアのプトレマイオスは2世紀に約3.14166を用いており、中国では祖沖之(429～501年)が5世紀後半に、小数第6位まで正しい355/113を得ていた。別の一つの詩句には24の数が並んでいる。半径3,438の円で3度45分ごとにとった、相次ぐ正弦(半弦)の差である。ここから四分円全体の正弦表を復元することができる。

地球と日食・月食。アリヤバータは、432万年の大周期における地球の回転数を1,582,237,500回とし、星々の西への動きを、船に乗った人に岸が動いて見える様子にたとえている。また、月が太陽を隠し、地球の大きな影が月を隠すと述べている。地球の自転は、それよりはるか以前の紀元前4世紀に、ギリシアのポントスのヘラクレイデスが唱えていた。しかしインド天文学の中では、アリヤバータの主張は大胆で、しかも綿密に計算されたものであり、彼の後継者の多くはこれを退けた。

アリヤバータが活動したのは、歴史家がしばしばグプタ朝時代と呼ぶ時期である。この時代、北インドの多くはマガダ(現在のビハール州)を本拠とするグプタ王朝によって治められていた。この時代は、サンスクリット文学、彫刻、寺院建築、そして科学的な著述によって記憶されている。ガンジス川沿いの旧帝国の首都パータリプトラは、学問と交易の一大中心地であった。

『アーリヤバティーヤ』の中で彼は、クスマプラで尊ばれてきた知識を提示していると述べている。ヒンドゥー教と仏教の両伝統、そして7世紀の注釈者バースカラ1世は、クスマプラをパータリプトラと同一視している。後代のある詩句は、彼をクスマプラのある機関の長(クラパ)と表現している。大寺院ナーランダーがそう遠くない場所にあったため、彼がナーランダーを率いていたという説が唱えられることもあるが、彼自身の著作にその証拠はなく、ほとんどの歴史家はこれを推測にすぎないと見なしている。

出生地についてはさらに不確かである。バースカラ1世は彼を「アーシュマキーヤ」、すなわち「アシュマカに属する者」と呼んでおり、アシュマカは通常、ナルマダー川とゴーダーヴァリー川の間、デカン高原に位置づけられる。一部の研究者は、彼の著作に対する後代の注釈の多くが南方のケーララ州で書かれたことを根拠に、ケーララ出身説を唱えている。パータリプトラの近くで生まれたと考える者もいる。証拠だけではこの問題は決着しない。

ビハール地方の地元の伝承では、彼をパトナ南方のタレガナにある太陽神殿の天文台と結びつけている。しかしこれもまた、記録された歴史というより後代の伝承である。

『アーリヤバティーヤ』は驚くほど短い書物である。4章(パダ)からなり、第1章「ギーティカーパダ」は13の詩句からなる。祈願の言葉、音節で数を表す巧妙な体系、そして432万年に及ぶ大周期における惑星の公転回数や、たった一つの詩句に圧縮された正弦表を含む天文定数の表が収められている。

第2章「ガニタパダ」は数学に関する33の詩句からなり、平方・立方とそれらの根、面積・体積、円と三角形の性質、ノーモン(日時計として使う垂直な棒)が落とす影、等差数列、利子、方程式の解法などを扱う。第3章「カーラクリヤーパダ」は25の詩句で時間の単位と惑星の運動を扱い、第4章「ゴーラパダ」は50の詩句で天球、地球の形、昼と夜、日食・月食を扱う。

この書物は、インドの専門文献に特有の簡潔な文体で書かれている。それぞれの詩句は記憶の助けとなるように作られており、規則を数語に圧縮して学生が暗唱し、教師がそれを解説する仕組みになっている。だからこそ『アーリヤバティーヤ』は常に注釈とともに読まれてきた。現存する最古の注釈は、バースカラ1世によるもので、629年に書かれた。

アリヤバータは少なくともあと一つ別の著作を残している。それは一日が日の出ではなく真夜中に始まるとする天文体系である。この書物自体は失われているが、ヴァラーハミヒラ、ブラフマグプタ、バースカラ1世といった後代の天文学者たちがこれを引用したり説明したりしており、ノーモンや水時計といった器具についての記述も含まれていた。

「ガニタパダ」の中で最も有名な詩句は、円周の長さを求める規則を示している。これは次のように訳せる。「100に4を加え、これに8を掛け、さらに62,000を加えよ。これが直径20,000の円のおおよその円周である。」62,832を20,000で割ると、π ≈ 3.1416となり、小数第4位まで正確に一致する。アリヤバータは「近づく」「近い」を意味する「アーサンナ」という語を用いており、これをその値が近似値でしかありえないことを彼が理解していた証拠と読む歴史家もいる。

プトレマイオスのようなギリシアの天文学者が円の弦全体を表にしたのに対し、アリヤバータは、他のインドの天文学者と同じく、弦の半分、すなわち「アルダジヤー」、あるいは単に「ジヤー」を扱った。これは半径Rの円における長さR sin θであり、半径で割れば現代の正弦になる。一つの詩句に詰め込まれた彼の表は、四分円を3度45分ずつ24段階で覆っている。厳密にいえば、それは半径3,438の円における相次ぐ正弦の差を列挙したものであり、別の詩句がそうした表の計算方法を説明している。この名前自体も長い旅をした。アラビアの天文学者は「ジヤー」を「ジーバ」として借用した。アラビア文字は通常短母音を書かないため、後の読者はこの語を「ジャイブ」(折り目、または袋の意)と取り違え、ラテン語の翻訳者はそれを「シヌス」と訳した。英語の「サイン(sine)」はここから来ている。

もう一つの重要な貢献は、ax − by = c のような方程式の整数解を求める方法である。これは不定方程式、あるいは一次ディオファントス方程式として知られる。インドの数学者たちはこの技法を「クッタカ」、すなわち「粉砕するもの」と呼んだ。ユークリッドの互除法とよく似た形で、数を段階的により小さな数へと分解していくためである。こうした問題は、複数の周期がいつ一致するかを求める必要のあった天文学において重要な意味を持っていた。バースカラ1世をはじめとする後代の数学者たちがこの方法を洗練させた。

この書物にはまた、等差数列の和や、1からnまでの数の平方和・立方和を求める規則、面積・体積の公式、平方根・立方根を求める方法も収められている。これらの開平・開立の方法は、数の十進の各桁を一つずつたどって進む。彼が計算の際に実際にどのように数を書いたのかはわかっていない。訳者のクラークは、縦の列に罫線を引いた板を使い、空の位には何も書かない列を残した可能性を考えた。書物の中では、彼は音節符号を第1章の大きな定数にだけ用い、それ以外では普通の数詞を使っている。

アリヤバータの最も大胆な主張は、地球に関するものである。第1章で彼は大周期の中で地球が自転する回数を示し、「ゴーラパダ」では星々の日々の運動を一つのイメージで説明している。前へ進む船に乗っている人が、動いていない岸辺の物を後ろへ動いているように見るのと同じように、ランカー(赤道上の基準点)にいる人は、動いていない星々が西へ動いているように見るのだ、というのである。当時のインドや他の地域の天文学者の大多数は、地球は静止しており、天が地球の周りを回っていると信じていた。

この考えは広くは受け入れられなかった。ブラフマグプタをはじめとする後代のインドの天文学者たちはこれを退け、注釈者の中には、天が動くという内容に詩句の文言そのものを書き換えた者さえいた。数世紀後、ペルシアの学者アル・ビールーニーは、アリヤバータの信奉者たちが地球は自転すると考えていると伝えている。本文自体にも謎がある。船のたとえのすぐ次の詩句では、宇宙の風に動かされて恒星の天球が西へ動くと述べられているのだ。それでもクラークは、地球が回転するというアリヤバータの考えは書物の別の箇所ではっきりと述べられており、批判者たちもそのように理解していたと判断した。

アリヤバータはまた、日食・月食についても明快な物理的説明を与えた。彼は、月や惑星は太陽の光を反射して輝いているのであり、月食は月が地球の影に入ることで、日食は月が太陽を覆い隠すことで起こると述べた。民間の信仰では、太陽や月を飲み込む悪魔ラーフのせいで日食や月食が起こるとされていた。アリヤバータの詩句は、地球の影の大きさや、月あるいは太陽のどの部分が暗くなるかを計算している。

彼の数値は驚くほど精密であった。地球が恒星に対して一回転するのにかかる時間についての彼の値は、23時間56分と約4秒に相当し、現代の値に非常に近い。彼が示した恒星年の長さは約365日6時間12分であり、現代の値よりわずか数分長いだけである。

インドの天文学は、暦や儀礼と密接に結びついていた。祭司や占星術師たちは、祭礼や吉日、そして「ティティ」と呼ばれる太陰日を定めるために、太陽・月・惑星の位置を知る必要があった。アリヤバータの「カーラクリヤーパダ」は、任意の日についての惑星の平均位置を計算する方法、太陰暦と太陽暦を同期させるための閏月の挿入方法、そして曜日の名づけ方を示している。

それ以前のインドの宇宙論は、時間を巨大な諸時代に分割していた。アリヤバータは432万年という大周期そのものは維持しつつ、伝統的なプラーナ宇宙論のように長さの異なる四つの時代に分けるのではなく、等しい四つの部分に分割した。この伝統からの逸脱が、ブラフマグプタが彼を厳しく批判した理由の一つであった。

『アーリヤバティーヤ』の惑星体系は地球を中心に置いている。惑星の真の位置は、平均位置から2種類の補正を何段階かに分けて加えることで求められる。惑星自身の運動の不均一さを考慮するマンダ補正と、惑星の場合は太陽と結びついたシーグラ補正である。どちらも、大きな円に乗って運ばれる小さな円として思い描かれる。地球から外側に向かって、彼は月、水星、金星、太陽、火星、木星、土星、そして恒星を置いている。同時代のインドの他の体系もほぼ同じ方法をとっており、デイヴィッド・ピングリーらの歴史家は、それらがプトレマイオスより古いギリシアのモデルを取り入れたものだと論じている。

『アーリヤバティーヤ』は、紀元前3102年のカリ・ユガの開始時にすべての惑星が一直線に並んでいたとされる瞬間から、時間の計算を始めている。この紀元は他のインドの体系とも共有されており、惑星の位置を計算するための固定された出発点を提供していた。

アリヤバータは、後に「アーリヤパクシャ(アリヤバータ学派)」として知られるようになる、インド天文学の主要な伝統の一つを創始した。約1世紀後に活躍したバースカラ1世は、629年に詳細な注釈を著し、彼を数学・運動学・球面学という大海の彼方の岸にたどり着いた師と称賛した。628年に著述したブラフマグプタは、彼の考えの多くを批判しつつも長々と論じており、それ自体が彼の影響力の大きさを物語っている。

『アーリヤバティーヤ』は特に南インドで重要な役割を果たした。ケーララ州では、天文学者や数学者たちが長い注釈の系譜を築き上げ、その頂点として1500年ごろに書かれたニーラカンタ・ソーマヤージーの注釈がある。無限級数の研究で知られるケーララ学派は、自らをアリヤバータの伝統の継承者と位置づけていた。

インド各地の暦の作成者たちは、伝統的な暦書「パンチャーンガ」を作るために、アリヤバータの伝統に基づく計算法を用いた。彼の音節による数字表記の体系は、南インドの天文学の著作で広く模倣された。

10世紀ごろに『マハーシッダーンタ』という著作を書いた後代の天文学者は、「アリヤバータ2世」として知られている。彼を『アーリヤバティーヤ』の著者と混同してはならない。

インドの天文学の著作は、8世紀にバグダードのアッバース朝の宮廷で学者たちがサンスクリット語の文献をアラビア語に翻訳したことをきっかけに、西方へと伝わっていった。これらの翻訳を通じて、インドの正弦表や惑星位置の計算法がイスラム天文学に取り入れられ、後にヨーロッパへと伝えられた。アリヤバータ自身の思想がどのような経路をたどって伝わったのかは必ずしも明らかではなく、アラビア語の史料は彼個人の名を挙げるよりも、インド天文学全般について語ることが多い。

11世紀にインドについての有名な書物を著したアル・ビールーニーは、アリヤバータとその信奉者たちについて知っており、地球が自転するという彼らの見解についても論じている。サンスクリット語の「ジヤー」がアラビア語を経てラテン語の「シヌス」に至るまでの「サイン」という語の歴史は、この伝達の連鎖が残した小さいながらも鮮やかな痕跡である。

現代インドにおいて、アリヤバータは科学的達成の国家的象徴となった。インド宇宙研究機関(ISRO)が製作し、1975年4月19日にソ連のロケットで打ち上げられたインド初の人工衛星には「アリヤバータ」の名が付けられた。この衛星はインドの2ルピー紙幣の裏面にも描かれている。月のクレーター、ナイニタール近郊の観測科学の研究機関、そしてパトナの大学もまた、彼の名を冠している。

大衆向けの解説では、アリヤバータはしばしばゼロの発明者として、あるいはコペルニクスの地動説を先取りした人物として紹介される。しかし、『アーリヤバティーヤ』に実際に書かれていることを扱った節や、この後の発展的な節で説明するとおり、いずれの主張も証拠が示す範囲を超えるものである。

アリヤバータはゼロを知っていたのか。『アーリヤバティーヤ』にはゼロを表す記号は使われておらず、大きな定数は彼の音節符号で、それ以外の数は普通の数詞で書かれている。しかし、彼の平方根・立方根を求める方法は、十進位取り記数法の中で桁ごとに計算を行うものであり、彼の記数法は音節を10のべき乗に割り当てるもので、その中には係数がゼロとなる位も含まれていた可能性がある。ジョルジュ・イフラーらは、それゆえ空の位を示すためのゼロの概念は暗黙のうちに存在していたと論じている。ほとんどの歴史家は、十進位取り算術がすでに使われていたことには同意しているが、ゼロが独自の規則を持つ明示的な数として扱われるようになった時点については、通常628年のブラフマグプタの業績にまでさかのぼるとされる。

彼はπが無理数であることを知っていたのか。「近づく」を意味する「アーサンナ」という語は、3.1416が近似値にすぎないという単純な認識として読むこともできるし、より踏み込んで、正確な分数など存在しないという洞察として読むこともできる。インドの数学史家の中には、より踏み込んだ読み方を支持する者もいる。しかし詩句そのものは論証を示していないため、彼がπを無理数だと知っていたことを示すことはできない。πが無理数であることを最初に証明したのは、1761年、ヨーロッパのヨハン・ハインリヒ・ランベルトである。マクチューターはさらに、アリヤバータ自身は実際には√10(約3.162)を好んだらしいという興味深い指摘もしている。

彼の体系は密かに太陽中心説だったのか。歴史家B・L・ファン・デル・ワールデンは、アリヤバータの惑星モデルのいくつかの特徴、とりわけ太陽の平均運動と結びついたシーグラ周転円の役割が、失われたギリシアの資料から受け継がれたかもしれない、根底にある太陽中心理論の痕跡を示していると論じた。ノエル・スワードロウらはこの解釈を強く否定し、テキストは明確に地球中心説であり、太陽中心説ではない体系にも同様の補正が見られると指摘した。一般的な合意としては、アリヤバータが提案したのは自転する地球であって、太陽の周りを公転する地球ではなかったとされている。

彼のパラメータはどこに由来するのか。デイヴィッド・ピングリーのような学者たちは、インドの数理天文学の多くの要素を、インドで改変されたバビロニアやヘレニズムの資料にまでたどっている。一方で、インド独自の発展を強調する学者もいる。アリヤバータの体系と、それに先立つ『パイターマハ・シッダーンタ』や『スーリヤ・シッダーンタ』の伝統との関係は、今なお活発な研究テーマである。

『アーリヤバティーヤ』は、主に南インド由来の多くの写本として伝わっており、たいてい注釈とともに残されている。詩句が非常に圧縮されているため、注釈はこれを理解する上で欠かせない。629年に書かれたバースカラ1世の注釈が最古かつ最も詳細なものであり、パラメーシュヴァラやニーラカンタ・ソーマヤージーによるものを含むケーララの後代の注釈は、この文献がどのように用いられ、時には再解釈されてきたかを示している。

この文献に関する近代の学術研究は19世紀に始まった。オランダの学者ヘンドリック・ケルンは1874年、ライデンでパラメーシュヴァラの注釈とともにサンスクリット語原文を出版した。ウォルター・ユージン・クラークによる英訳は1930年に刊行された。翻訳と注解を伴う標準的な校訂版は、K・S・シュクラがK・V・サルマの協力を得て作成し、1976年にインド国立科学アカデミーから出版したものである。同じシリーズで、シュクラはバースカラ1世とソーメーシュヴァラの注釈を、サルマはスーリヤデーヴァ・ヤジュヴァンの注釈を、それぞれ別に校訂している。

伝記的な証拠は乏しく、一部は伝説的なものである。年齢を記した詩句を除けば、一世紀以上後に著述した注釈者たちや、それぞれの思惑を持つ地域的な伝承に頼らざるをえない。ケーララ説、ビハール説、デカン説には、それぞれ支持者がいる。そのため歴史家たちは、本文が実際に語っている内容と、後世に付け加えられた説を区別して扱っている。

失われた真夜中起点の体系は、後代の著作、とりわけヴァラーハミヒラの『パンチャシッダーンティカー』や、アリヤバータの真夜中起点の計算法に従うブラフマグプタの『カンダカーディヤカ』を通じて再構成されている。アリヤバータの翻訳であると称するアラビア語の著作についても議論されてきたが、彼との関係は不確かなままである。